Навигация
1. Справочный материал.
Понятие матрицы часто используется в практической деятельности, например, данные о выпуске продукции нескольких видов в каждом квартале года или нормы затрат нескольких видов ресурсов на производство продукции нескольких типов и т.д. удобно записывать в виде матрицы.
Задача 1. В некоторой отрасли m заводов выпускают n видов продукции. Матрица 
задаёт объёмы продукции на каждом заводе в первом квартале, матрица 
- соответственно во втором; (аij, вij) – объёмы продукции j –го типа на i –м заводе в 1-м и 2-м кварталах соответственно:
; 
.
Найти:
а) объёмы продукции;
б) прирост объёмов производства во втором квартале по сравнению с первым по видам продукции и заводам;
в) стоимостное выражение выпущенной продукции за полгода (в долларах), если 
λ – курс доллара по отношению к рублю.
Решение:
а) Объёмы продукции за полугодие определяются суммой матриц, т.е. С=А+В=
, где сij – объём продукции j-го типа, произведённый за полугодие i-м заводом.
б) Прирост во втором квартале по сравнению с первым определяется разностью матриц, т.е.
Д=В-А= 
. Отрицательные элементы показывают, что на данном заводе объём производства уменьшился, положительные – увеличился, нулевые – не изменился.
в) Произведение λC= λ(А+В) даёт выражение стоимости объёмов производства за квартал в долларах по каждому заводу и каждому предприятию.
Задача 2. Предприятие производит n типов продукции, используя m видов ресурсов. Нормы затрат ресурса i-го товара на производство единицы продукции j-го типа заданы матрицей затрат . Пусть за определённый отрезок времени предприятие выпустило количество продукции каждого типа 
, записанное матрицей 
.
Определить S – матрицу полных затрат ресурсов каждого вида на производство всей продукции за данный период времени, если
, 
. Решение. Матрица полных затрат ресурсов S определяется как произведение матриц, т.е. S=AX.
, т.е за данный период времени будет израсходовано 930 ед. ресурса 1-го вида, 960 ед. ресурса 2-го вида, 450 ед. ресурса 3-го вида, 630 ед. ресурса 4-го вида.
Задача 3. Завод производит двигатели, которые могут либо сразу потребовать дополнительной регулировки (в 40% случаев), либо сразу могут быть использованы (в 60% случаев). Как показывают статистические исследования, те двигатели, которые изначально требовали регулировки, потребуют дополнительной регулировки через месяц в 65% случаев, а в 35% случаев через месяц будут работать хорошо. Те же двигатели, которые не требовали первоначальной регулировки, потребуют её через месяц в 20% случаев и продолжат хорошо работать в 80% случаев. Какова доля двигателей, которые будут работать хорошо или потребуют регулировки через 2 месяца после выпуска? Через 3 месяца?
Решение.
В момент после выпуска доля хороших двигателей составляет 0,6, а доля требующих регулировки – 0,4. Через месяц доля хороших составит: 0,6.0,8+0,4.0,35=0,62. Доля требующих регулировки: 0,6.0,2+0,4.0,65=0,38. введём строку состояния Xt в момент t; Xt=(x1t; x2t), где x1t – доля хороших двигателей, x2t – доля двигателей, требующих регулировки в момент t.
Матрица перехода 
, где 
- доля двигателей, которые в настоящее время находятся в состоянии 
( 1- «хороший», 2- «требует регулировки»), а через месяц – в состоянии 
.
Очевидно, что для матрицы перехода сумма элементов каждой строки равна 1, все элементы неотрицательны.
Очевидно, 
=(0,6
0,4), 
.
Тогда через месяц 
,
через 2 месяца 
; через 3 месяца 
.
Найдём матрицы 
;
.
Отметим, что если 
- матрица перехода, то 
- тоже матрица перехода при любом натуральном t. Теперь
,
.
Очевидно, 
.
Задача 3. Фирма состоит из двух отделений, суммарная величина прибыли которых в минувшем году составила 12 млн. усл. ед. На этот год запланировано увеличение прибыли первого отделения на 70%, второго – на 40%. В результате суммарная прибыль должна вырасти в 1,5 раза. Какова величина прибыли каждого из отделений: а) в минувшем году; б) в текущем году?
Решение.
Пусть 
и 
- прибыли первого и второго отделений в минувшем году. тогда условие задачи можно записать в виде системы: 
Решив систему, получим 
Следователь, а) прибыль в минувшем году первого отделения -4 млн. усл. ед., а второго – 8 млн. усл. ед.; б) прибыль в этом году первого отделения 1,7.4=6,8 млн. усл. ед., второго 1,4.8=11,2 млн. усл. ед.
Похожие работы
... системы цен по остальным товарам. Конец XIX – начало XX века ознаменовались широким использованием математики в экономике. В XX в. математические методы моделирования используются столь широко, что почти все работы, удостоенные Нобелевской премии по экономике, связаны с их применением (Д. Хикс, Р. Солоу, В. Леонтьев, П. Самуэльсон, Л. Канторович и др.). Развитие предметных дисциплин в большинстве ...
... моделей экстремальных планов и экстремальных значений целевой функции быть не может. Таким образом, для принятия оптимального решения любой экономической задачи необходимо построить ее экономико-математическую модель, по структуре включающую в себе систему ограничений, целевую функцию, критерий оптимальности и решение. Методика построения экономико-математической модели состоит в том, чтобы ...
... . Специалист для которого MS Excel является именно тем средством которое позволяет облегчить и ускорить его работу, должен знать и уметь использовать в повседневной работе новейшие экономико-математические методы и модели, предлагаемые новыми прикладными программами. Традиционный способ изучения экономико-математических методов заключается не только в определении их назначения и сути, ...
... производственной функции, моделей поведения фирмы, моделей общего экономического равновесия, прежде всего модели Л. Вальраса и ее модификаций. Глава 2. История развития экономико-математического моделирования в США Для характеристики математического направления в экономике за последние 80 – 90 лет приведу лишь некоторые результаты, сыгравшие заметную роль в его развитии. Как в теоретическом, ...
0 комментариев