Контрольная работа
Дисциплина: Высшая математика
Тема: Таблица производных. Дифференцирование сложных функций
1. Таблица производных
Как известно, большинство функций можно представить в виде какой-то комбинации элементарных функций. Зная, как дифференцируются элементарные функции, можно продифференцировать и их различные комбинации. Поэтому рассмотрим таблицу производных элементарных функций.
1. .
Найдем производную, когда .
Зададим приращение аргументу , что даст
. Так как
, а
, то
Отсюда и
,
то есть . Если
, результат тот же.
2. .
Зададим приращение аргументу , что даст
. Так как
, а
, то
.
Отсюда и
, то есть
.
3. .
Зададим приращение аргументу , что даст
. Так как
, а
, то
.
Отсюда и
, то есть
.
4. .
По определению . Будем дифференцировать
как частное:
, то есть
.
5. .
По определению . Будем дифференцировать
как частное:
, то есть
.
6. .
Зададим приращение аргументу , что даст
. Так как
, а
, то
.
Отсюда и
,
то есть . Здесь была использована формула для второго замечательного предела.
7. .
Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим :
. Значит,
.
8. .
Зададим приращение аргументу , что даст
. Так как
, а
, то
. Отсюда
и
, то есть
.
Здесь была использована формула для одного из следствий из второго замечательного предела.
9. .
Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим :
. Значит,
.
Прежде чем перейти к вычислению производных от обратных тригонометрических функций, рассмотрим вопрос о дифференцировании обратных функций вообще. Как было сказано в п. 8.2, для каждого взаимно однозначного отображения существует обратное отображение, то есть если , то
.
Теорема. Если для некоторой функции существует обратная ей
, которая в точке
имеет производную не равную нулю, то в точке
функция
имеет производную
равную
, то есть
.
Доказательство. Рассмотрим отношение приращения функции к приращению аргумента: . Так как функция
имеет производную, то согласно теореме 11.2.2 она непрерывна, то есть
, откуда
. Значит,
.
Воспользуемся данной теоремой для вычисления производных обратных тригонометрических функций.
10. .
В данном случае обратной функцией будет . Для нее
. Отсюда
,
то есть .
11. .
Так как
, то
.
.
В данном случае обратной функцией будет . Для нее
.
Отсюда , то есть
.
13. .
Так как
, то
.
... Логарифмическое дифференцирование применяется для нахождения производной от показательно-степенной функции. Примеры 1. 2. . Таблица производных Объединим в одну таблицу все основные формулы и правили дифференцирования, выведенные ранее. Всюду будем полагать u=u(x), v=v(x), С=const. Для производных основных элементарных функций будем пользоваться теоремой о ...
... f ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b]. Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...
... функции в точке перегиба равна нулю, то есть = 0. Если вторая производная при переходе через некоторую точку меняет свой знак, то является точка перегиба ее графика. При исследовании функции и построении ее графика рекомендуется использовать следующую схему: Найти область определения функции. Исследовать функции на четность – нечетность (если функция четная или нечетная, то график ...
... дает: С помощью этой формулы можно получить несколько удобных формул для приближенных вычислений: Производная в школьном курсе алгебры 1. Структура учебников Колмогоров: §4. Производная 12. Приращение функции 13. Понятие о производной 14. Понятия о непрерывности и предельном переходе 15. Правила вычисления производных 16. Производная ...
0 комментариев