Навигация
Таблица производных. Дифференцирование сложных функций
7446
знаков
0
таблиц
6
изображений
Контрольная работа
Дисциплина: Высшая математика
Тема: Таблица производных. Дифференцирование сложных функций
1. Таблица производных
Как известно, большинство функций можно представить в виде какой-то комбинации элементарных функций. Зная, как дифференцируются элементарные функции, можно продифференцировать и их различные комбинации. Поэтому рассмотрим таблицу производных элементарных функций.
1. 
.
Найдем производную, когда 
.
Зададим приращение аргументу 
, что даст 
. Так как
, а 
, то
Отсюда 
и 
,
то есть 
. Если 
, результат тот же.
2. 
.
Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а 
, то
.
Отсюда 
и 
, то есть 
.
3. 
.
Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а 
, то
.
Отсюда 
и 
, то есть 
.
4. 
.
По определению 
. Будем дифференцировать 
как частное:
, то есть 
.
5. 
.
По определению 
. Будем дифференцировать 
как частное:
, то есть 
.
6. 
.
Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а 
, то
.
Отсюда 
и
,
то есть 
. Здесь была использована формула для второго замечательного предела.
7. 
.
Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим 
: 
. Значит, 
.
8. 
.
Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а 
, то 
. Отсюда
и 
, то есть 
.
Здесь была использована формула для одного из следствий из второго замечательного предела.
9. 
.
Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим : 
. Значит, 
.
Прежде чем перейти к вычислению производных от обратных тригонометрических функций, рассмотрим вопрос о дифференцировании обратных функций вообще. Как было сказано в п. 8.2, для каждого взаимно однозначного отображения существует обратное отображение, то есть если 
, то 
.
Теорема. Если для некоторой функции существует обратная ей , которая в точке 
имеет производную не равную нулю, то в точке функция имеет производную 
равную 
, то есть 
.
Доказательство. Рассмотрим отношение приращения функции к приращению аргумента: 
. Так как функция имеет производную, то согласно теореме 11.2.2 она непрерывна, то есть 
, откуда 
. Значит, .
Воспользуемся данной теоремой для вычисления производных обратных тригонометрических функций.
10. 
.
В данном случае обратной функцией будет 
. Для нее 
. Отсюда
,
то есть 
.
11. 
.
Так как
, то 
. 
.
В данном случае обратной функцией будет 
. Для нее
.
Отсюда 
, то есть 
.
13. 
.
Так как
, то 
.
Похожие работы
... Логарифмическое дифференцирование применяется для нахождения производной от показательно-степенной функции. Примеры 1. 2. . Таблица производных Объединим в одну таблицу все основные формулы и правили дифференцирования, выведенные ранее. Всюду будем полагать u=u(x), v=v(x), С=const. Для производных основных элементарных функций будем пользоваться теоремой о ...
... f ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b]. Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...
... функции в точке перегиба равна нулю, то есть = 0. Если вторая производная при переходе через некоторую точку меняет свой знак, то является точка перегиба ее графика. При исследовании функции и построении ее графика рекомендуется использовать следующую схему: Найти область определения функции. Исследовать функции на четность – нечетность (если функция четная или нечетная, то график ...
... дает: С помощью этой формулы можно получить несколько удобных формул для приближенных вычислений: Производная в школьном курсе алгебры 1. Структура учебников Колмогоров: §4. Производная 12. Приращение функции 13. Понятие о производной 14. Понятия о непрерывности и предельном переходе 15. Правила вычисления производных 16. Производная ...
0 комментариев