Поперечное обтекание тел вращения

2. Поперечное обтекание тел вращения

Наряду с продольным обтеканием тел вращения представляет интерес и поперечное обтекание, перпендикулярное (Приложение 1, б) к оси симметрии тела. Из сложения этих двух потоков можно получить обтекание тела вращения под любым углом.

В этом случае уже не получается осесимметричного движения. Уравнение Лапласа, определяющее потенциал скоростей, будет в ортогональной системе криволинейных координат, согласно (*), иметь вид

Сохраняя ту же систему координат (l, m, e), что и в случае осесимметричного обтекания тела вращения, и используя выражения коэффициентов Ламе (2), перепишем предыдущее уравнение в форме

(13)

Будем искать решение этого уравнения в виде произведения двух функций

j = N(l, m) Е(e);

тогда, подставляя последнее выражение в уравнение (13) и разделяя функции независимых переменных, получим систему уравнений (k – произвольное число, которое будем считать положительным и целым)

Первое уравнение имеет решение: Е = A cos ke + В sin ke;

второе, если положить N = L(l) М(m) и разделить переменные, может быть приведено к системе уравнений

имеющей в качестве частных решений так называемые присоединенные функции Лежандра[4]

 (14)

Комбинируя эти функции так, чтобы выражение потенциала скоростей возмущенного движения было ограниченным при l ® ¥, получим общее выражение потенциала скоростей

здесь последнее слагаемое представляет собой потенциал скоростей набегающего на тело однородного потока со скоростью на бесконечности V_¥, направленной параллельно оси Оу (Приложение 1, б).

Полагая в только что выведенной общей формуле потенциала

 

A_n1 = сV_¥С_n, A_n2 = A_n3 =… = 0, B_n1 = В_n2 =… = 0,

т.е. довольствуясь решением, содержащим cos e, и, кроме того, представляя у по формулам, помещенным в начале § 1, как функцию l, m и e

получим следующее выражение потенциала скоростей поперечно набегающего со скоростью V_¥ вдоль оси Оу потока:

или, используя определение присоединенных функций Лежандра (14),

(15)

Для определения постоянных С_n, как и ранее, следует составить граничное условие на заданной поверхности обтекаемого тела. В этом случае неосесимметричного движения функция тока отсутствует и приходится непосредственно вычислять нормальную скорость V_n = ¶j/¶n и приравнивать ее нулю.

Несколько облегчая вычисления, выпишу в выбранной системе координат (l, m) условие, что при непроницаемости поверхности обтекаемого тела элемент дуги его меридианного сечения параллелен составляющей скорости в меридианной плоскости (условие скольжения жидкости по поверхности тела):

или, вспоминая выражения элементов дуг координатных линий и проекций градиента потенциала на направления этих линий,

Отсюда вытекает искомое граничное условие

(16)

в котором l является заданной функцией m согласно уравнению контура обтекаемого тела в меридиональной плоскости. Составляя частные производные ¶j/¶l, ¶j/¶m и используя (15) получаю:

Заменив входящие сюда выражения вторых производных на основании дифференциальных уравнений функций Р_n и Q_n

получим после простых приведений

Подставляя эти выражения производных в (16) и используя ранее выведенные значения коэффициентов Ламе

получим после очевидных сокращений

Имея в виду, что на поверхности тела l представляет заданную функцию от m, перепишем граничное условие в окончательной форме так:

(17)