Произведение двух групп

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Произведение двух групп

Курсовая работа

Исполнитель:

студентка группы H.01.01.01 М-31

Закревская С.А.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры Алгебры и геометрии

Монахов В. С.

Гомель 2005

Содержание

Введение

1 О произведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса

2 О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2

3 Произведение разрешимой и циклической групп

3.1. Вспомогательные результаты

3.2. Доказательства теорем 1 и 2

Заключение

Список литературы

Введение

Данную работу можно рассматривать как продолжение трудов Б. Хупперта и В. Скотта. В ней приводятся свойства конечных групп, являющихся произведением двух групп, а именно являющихся произведением двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса , произведением двух групп с циклическими подгруппами индекса 2, произведением разрешимой и циклической групп.

Рассматриваются вопросы разрешимости, сверхразрешимости и изоморфизма конечных групп, с приведенными выше свойствами и приводится описание двух классов неразрешимых факторизуемых групп. Так же приводятся доказательства следующих теорем:

Теорема 1.1 . Если  и  - группы с циклическими подгруппами индексов , то конечная группа  разрешима.

Теорема 1.2 . Пусть  - группа Шмидта, а  - группа с циклической подгруппой индекса . Если  и  - конечная неразрешимая группа, то  изоморфна подгруппе , содержащей , для подходящего .

Теорема 1.3 . Пусть  - 2-разложимая группа, а группа  имеет циклическую инвариантную подгруппу нечетного порядка и индекса 4. Если  и  - конечная неразрешимая группа, то  изоморфна подгруппе , содержащей , для подходящего .

Теорема 2.1 . Пусть конечная группа , где  и  - группы с циклическими подгруппами индексов . Тогда  разрешима,  и  для любого простого нечетного .

Теорема 2.2 . Если группы  и  содержат циклические подгруппы нечетных порядков и индексов , то конечная группа  сверхразрешима.

Теорема 2.3 . Пусть конечная группа , где  - циклическая подгруппа нечетного порядка, а подгруппа  содержит циклическую подгруппу индекса . Если в  нет нормальных секций, изоморфных , то  сверхразрешима.

Теорема 3.1 . Пусть конечная группа  является произведением разрешимой подгруппы  и циклической подгруппы  и пусть . Тогда , где  - нормальная в  подгруппа,  и  или  для подходящего .

Теорема 3.2 . Конечная группа, являющаяся произведением 2-нильпотентной подгруппы и циклической подгруппы, непроста. Если циклический фактор имеет нечетный порядок, то группа разрешима.

Теорема 3.3 . Если  - простая группа, где  - холловская собственная в  подгруппа, а  - абелева -группа, то  есть расширение группы, изоморфной секции из , с помощью элементарной абелевой 2-группы. В частности, если  циклическая, то  есть расширение абелевой группы с помощью элементарной абелевой 2-группы.

1. О произведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса

Доказывается, что конечная группа  разрешима, если группы  и  содержат циклические подгруппы индексов . Приводится описание двух классов неразрешимых факторизуемых групп. Библ. 18 назв.

В работе Б. Хупперт установил разрешимость конечной группы, которая является произведением двух диэдральных подгрупп. В. Скотт получил разрешимость группы , допустив в качестве множителей  и  еще так называемые дициклические группы. Диэдральные и дициклические группы содержат циклические подгруппы индекса 2, но не исчерпывают весь класс групп с циклическими подгруппами индекса 2. В настоящей заметке доказана

Теорема 1 . Если  и  - группы с циклическими подгруппами индексов , то конечная группа  разрешима.

Если подгруппа  нильпотентна, а в  есть циклическая подгруппа индекса 2, то, как показали H. Ито и Б. Хупперт, конечная группа  разрешима. Дополнением этого результата являются теоремы 2 и 3.

Теорема 2 . Пусть  - группа Шмидта, а  - группа с циклической подгруппой индекса . Если  и  - конечная неразрешимая группа, то  изоморфна подгруппе , содержащей , для подходящего .

 обозначает наибольшую разрешимую инвариантную в  подгруппу. Группой Шмидта называется ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны.

Теорема 3 . Пусть  - 2-разложимая группа, а группа  имеет циклическую инвариантную подгруппу нечетного порядка и индекса 4. Если  и  - конечная неразрешимая группа, то  изоморфна подгруппе , содержащей , для подходящего .

Частным случаем теоремы 3, когда  - абелева, а  имеет порядок ,  - простое число, является теорема 8 Б. Хупперта.

Доказательства теорем 1--3 и составляют содержание настоящей заметки.

Рассматриваются только конечные группы. Все используемые определения и обозначения стандартны, их можно найти в обзоре С. А. Чунихина и Л. А. Шеметкова.

Вначале докажем несколько лемм.

Лемма 1 . Пусть в группе существует циклическая подгруппа индекса . Тогда каждая подгруппа и фактор-группа обладает, циклической подгруппой индекса . Доказательство осуществляется непосредственной проверкой.

Лемма 2 . Пусть ,  - собственная подгруппа группы ,  - подгруппа четного порядка с циклической силовской 2-подгруппой. Если , то  содержит подгруппу индекса 2.

Доказательство. Если  содержит инвариантную в  подгруппу , то фактор-группа  удовлетворяет условиям леммы. По индукции  обладает подгруппой индекса 2, поэтому и в  есть подгруппа индекса 2.

Пусть  не содержит инвариантных в  подгрупп . Тогда представление группы  подстановками правых смежных классов по  есть точное степени , где . Группу  можно отождествить с ее образом в симметрической группе  степени . Так как в  силовская 2-подгруппа  циклическая, то , где  - инвариантное 2-дополнение. Пусть , . ,  и . Подстановка  разлагается в произведение циклов

 

т. е. подстановка  имеет  циклов, каждый длины . Декремент подстановки равен  и есть нечетное число, поэтому  - нечетная подстановка. Теперь , а так как индекс  в  равен 2, то  - подгруппа индекса 2 в группе .

Лемма 2 обобщает лемму А. В. Романовского.

Замечание. Простая группа  является произведением двух подгрупп  и , причем , а  - группа порядка  с циклической силовской 2-подгруппой. Этот пример показывает, что требование  отбросить нельзя.

Лемма 3 . Пусть  - дважды транзитивная группа подстановок на множестве  и пусть  - стабилизатор некоторой точки . Тогда все инволюции из центра  содержатся в .

Доказательство. Пусть . Допустим, что существует , причем . Так как  транзитивна на , то . Ho , поэтому  и  - тождественная подстановка. Противоречие. Следовательно,  фиксирует только . Теперь подстановка  содержит только один цикл длины 1, а так как  - инволюция, то  нечетен. Но , поэтому существует силовская 2-подгруппа  из  с  и . Если , то , отсюда  и , т. е. . Теперь  и из теоремы Глаубермана следует, что .

Лемма 4 . Пусть центр группы  имеет четный порядок и силовская 2-подгруппа из  либо циклическая, либо инвариантна в . Если  - группа с циклической подгруппой индекса , то группа  непроста.

Доказательство. Пусть  - циклическая подгруппа в , для которой , а  - максимальная в  подгруппа, содержащая . Тогда . Если , то  и по лемме С. А. Чунихина группа  непроста. Значит, .

Допустим, что порядок  нечетен. Если , то . Если , то ввиду леммы 2  и поэтому опять . Рассмотрим представление  подстановками смежных классов по . Так как  - максимальная в  подгруппа, то  - примитивная группа подстановок степени . Если  - простое число, то  либо разрешима, либо дважды транзитивна. Если  - составное число, то, так как  - регулярная группа подстановок при этом представлении,  - опять дважды транзитивна. Из леммы 3 следует, что  непроста.

Пусть порядок  четен. Если , то  непроста по лемме 2. Значит,  и . Пусть  - силовская 2-подгруппа из . Если  инвариантна в , то  инвариантна и в . Следовательно,  - циклическая группа. Но  не является силовской в , поэтому  содержится как подгруппа индекса 2 в некоторой группе . Теперь для инволюции  из центра  имеем , т. е.  не максимальная в . Противоречие.

Следствие. Пусть группа , где группа  содержит циклическую подгруппу индекса . Если  - 2-разложимая группа четного порядка, то группа  непроста.

Лемма 5 . Пусть группа  содержит циклическую инвариантную подгруппу нечетного порядка и индекса 2. Если  - 2-разложимая группа, то группа  разрешима.

Доказательство. Применим индукцию к порядку . Если , то ввиду леммы 1 фактор-группа  удовлетворяет условиям леммы. По индукции,  разрешима, отсюда разрешима и .

Пусть . Если  - циклическая, то  разрешима по теореме В. А. Ведерникова. Поэтому ,  - циклическая подгруппа индекса 2, . Пусть , где  - силовская 2-подгруппа из ,  - ее дополнение. Если , то  разрешима. Теперь  и  можно считать силовской 2-подгруппой в . Так как  и , то . Пусть  и . Тогда  и . По лемме С. А. Чунихина подгруппа  максимальна в  и . Представление группы  подстановками смежных классов по подгруппе  дважды транзитивное: если  - простое число, если  - составное. Из леммы 3 вытекает теперь, что .Противоречие.

Доказательство теоремы 1 . Применим индукцию к порядку группы G. Пусть  и  - циклические инвариантные подгруппы в  и в  соответственно, чьи индексы равны 1 или 2, а  и  - те силовские 2-подгруппы из  и , для которых  и  есть силовская 2-подгруппа . Будем считать, что . Если , то  и  разрешима по теореме Ито-Хупперта. Поэтому в дальнейшем полагаем, что . Ввиду леммы 1 каждая фактор-группа удовлетворяет условиям теоремы, поэтому

Допустим, что . Если , то  и . Так как  разрешима, то . Если , то  и  разрешима.

Пусть теперь . Тогда и . Так как  не является силовской подгруппой в , то  содержится как подгруппа индекса 2 в некоторой 2-группе . Обозначим через  силовскую 2-подгруппу из . Очевидно, что  инвариантна в .

Предположим, что  и пусть  - инволюция из . В  все подгруппы характеристические и  инвариантна в , поэтому  и . Пусть  - максимальная в  подгруппа, которая содержит . Тогда  разрешима по индукции. Если , то  содержится в  и . Значит, . Так как  - собственная в  подгруппа, то ,  и . Теперь  - дважды транзитивная группа степени  на множестве смежных классов по : если  - простое число, то применимо утверждение из, стр. 609; если  составное. Из леммы 3 получаем, что . Противоречие.

Следовательно, . Если , то  и .Так как  не содержит подгрупп, инвариантных в , то представление группы  подстановками по подгруппе  - точное степени 4. Поэтому  - группа диэдра порядка 8,  и . В этом случае  неабелева. Напомним, что  и . Таким образом, для силовской 2-подгруппы  из  имеем:  - группа порядка 4 или неабелева группа порядка 8 (если ).

Предположим, что порядки групп  и  делятся одновременно на нечетное простое число  и пусть  и  - силовские -подгруппы из  и  соответственно. Так как  инвариантна в , a  инвариантна в , то  и  - силовская -подгруппа в . Без ограничения общности можно считать, что . По теореме VI.10.1 из группа  содержит неединичную подгруппу , инвариантную в . Но теперь  и , а так как  инвариантна в , a  разрешима, то  по лемме С. А. Чунихина. Противоречие. Следовательно, порядки  и  не имеют общих нечетных делителей. В частности, в группе  силовские подгруппы для нечетных простых чисел циклические.

Пусть  - минимальная инвариантная в  подгруппа и  - силовская 2-подгруппа из , которая содержится в . Так как , то  неразрешима и . Подгруппа  даже простая потому, что силовские подгруппы по нечетным простым числам циклические.

Пусть вначале . Тогда  и  неабелева. По теореме П. Фонга из группа  диэдральная или полудиэдральная. Но в этих случаях . Непосредственно проверяется, что диэдральная и полудиэдральная группа порядка 16 не является произведением двух групп порядка 4.

Предположим теперь что . Тогда  - элементарная абелева подгруппа или диэдральная. Если  абелева, то  или группа Янко  порядка 175560. Так как  неабелева, то  и индекс  в  четен. Группа  разрешима, поэтому  и  или . Ho  группа порядка 3, a . Противоречие. Если  - диэдральная группа порядка 8, то  - нечетное простое число или . Но группы  и  не допускают нужной факторизации, поэтому  - собственная в  подгруппа. Теперь  или . Если , то  - диэдральная группа порядка 16, а так как , то . Противоречие. Если , то  и в  существует подгруппа порядка  или .

Пусть, наконец, . Тогда  и . Так как фактор-группа  разрешима по индукции, то  и . Используя самоцентрализуемость силовской -подгруппы в , нетрудно показать, что  не допускает требуемой факторизации. Теорема доказана.

Доказательство теоремы 2 . Допустим, что теорема неверна и группа  - контрпример минимального порядка. Фактор-группа группы Шмидта есть либо группа Шмидта, либо циклическая -группа. Поэтому в силу индукции и теоремы 1 мы можем считать, что . Пусть  - произвольная минимальная инвариантная в  подгруппа. Если , то , а так как  - нильпотентная группа, то  разрешима по теореме Ито--Хупперта или по теореме Виландта--Кегеля. Отсюда разрешима и . Противоречие. Значит, , в частности,  разрешима. Допустим, что . Тогда  и  удовлетворяет условиям леммы. Поэтому  изоморфна подгруппе группы , содержащей  для подходящего . Так как  есть прямое произведение изоморфных простых неабелевых групп, то  и . Отсюда . Подгруппа  инвариантна в  так как , то  разрешима и . Теперь  изоморфна некоторой группе автоморфизмов , т. е.  из заключения теоремы. Противоречие. Значит, .

Таким образом, если  - произвольная инвариантная в  подгруппа, то .

Пусть ,  - инвариантная силовская -подгруппа,  - силовская -подгруппа. Через  обозначим циклическую подгруппу в , для которой . Допустим, что . В этом случае  и если  - подгруппа индекса 2 в , то  - циклическая подгруппа индекса 2 в . По теореме 1 группа  разрешима. Противоречие. Значит, . Теперь, если в  есть инвариантная подгруппа  четного индекса, то  есть группа Шмидта с инвариантной силовской 2-подгруппой, что противоречит лемме 1.

Следовательно,  и в  нет инвариантных подгрупп четного индекса.

Допустим, что , тогда  - группа нечетного порядка. Силовская 2-подгруппа  из  является силовской подгруппой в  и по результату В. Д. Мазурова группа  диэдральная или полудиэдральная. Если  диэдральная, то по теореме 16.3 группа  изоморфна  или подгруппе группы . Так как  не допускает требуемой факторизации, то  следует из заключения теоремы. Противоречие. Значит,  - полудиэдральная группа. Если  - центральная инволюция из , то , поэтому  и  разрешима. По теореме Мазурова группа  изоморфна  или . Нетрудно проверить, что  и  не допускают требуемой факторизации. Значит, .

Пусть  - максимальная в  подгруппа, содержащая . Тогда, если , то  и  содержит подгруппу , инвариантную в  по лемме Чунихина. В этом случае,  и . Противоречие. Следовательно, .

Допустим, что  не является силовской 2-подгруппой в . Тогда  немаксимальна в , а так как  и , то по лемме 2 порядок  нечетен. Теперь  и  содержит подгруппу индекса 2. Противоречие.

Таким образом,  - силовская 2-подгруппа группы . Теперь,  и  - максимальная в  подгруппа. Представление подстановками смежных классов по  дважды транзитивное и по лемме 3 порядок центра  нечетен. Отсюда следует, что  - абелева группа.

Пусть  - минимальная инвариантная в  подгруппа. Группа  не является -группой, поэтому некоторая силовская в  подгруппа циклическая и  - простая группа. Теперь можно применить результат Уолтера. Так как и группе Янко и в группах типа  и нормализатор силовской 2-подгруппы имеет порядок , a , то  изоморфна , где  или . Фактор-группа  разрешима, поэтому  и  изоморфна некоторой группе автоморфизмов , т. е.  из заключения теоремы. Противоречие. Теорема доказана.

Доказательство теоремы 3 . Пусть группа  - контрпример минимального порядка,  - циклическая подгруппа в  и , где . Пусть , где  - силовская 2-подгруппа , а  - ее 2-дополнение в  . Если  - силовская 2-подгруппа , то  и  разрешима по теореме Ведерникова. Противоречие. Теперь  можно считать силовской 2-подгруппой группы .

Предположим, что . Фактор-группа  и  - 2-разложимая группа. Очевидно, что циклическая подгруппа  нечетного порядка инвариантна в  и ее индекс равен 1, 2 или 4. В первых двух случаях группа  разрешима по лемме 5, поэтому разрешима и . Противоречие. Если индекс равен 4, то по индукции и учитывая, что , получаем: группа  изоморфна подгруппе , содержащей  для некоторых . Противоречие. Следовательно, в  нет разрешимых инвариантных подгрупп, отличных от единицы.

Теперь покажем, что силовская 2-подгруппа  является диэдральной группой порядка 4 или 8. Если , то , и так как  неразрешима, то  диэдральная. Пусть  не содержится в .

Предположим, что  и пусть , где  - инволюция из . Теперь  и . Пусть вначале  и  максимальна в . Тогда  - дважды транзитивная группа на множестве смежных классов по подгруппе : если  - простое число; если  - непростое число. Из леммы 3 получаем, что . Противоречие. Пусть  - максимальная в  подгруппа, которая содержит . Тогда  и . Кроме того, . Пусть  - минимальная инвариантная в  подгруппа, которая содержится в ,  существует по лемме Чунихина, а так как , то , а следовательно, и  неразрешимы. По индукции  изоморфна подгруппе , содержащей , для некоторых . Все инвариантные в  подгруппы неразрешимы, поэтому , а так как  - минимальная инвариантная в  подгруппа, то . B силу леммы 5 , поэтому  разрешима. Но тогда  и  изоморфна группе автоморфизмов группы , т. е.  из заключения теоремы. Противоречие.

Значит, , поэтому  не содержит инвариантных в  подгрупп, отличных от 1. Следовательно, представление группы  подстановками смежных классов по подгруппе  точное степени 4. Отсюда группа  есть группа диэдра порядка 8.

Таким образом, силовская 2-подгруппа  в группе  есть диэдральная группа порядка 4 или 8. По результату Горенштейна - Уолтера группа  изоморфна , или подгруппе группы . Так как , не допускает требуемой факторизации, то группа  - из заключения теоремы. Противоречие. Теорема доказана.

В заключение отметим, что, используя технику доказательств теорем 1--3 и следствие леммы 4, можно получить описание неразрешимых групп  при условии, что  - 2-разложимая группа, а в группе  существует циклическая подгруппа индекса .