Произведение разрешимой и циклической групп

3. Произведение разрешимой и циклической групп

В настоящей заметке доказывается следующая

Теорема 1. Пусть конечная группа  является произведением разрешимой подгруппы  и циклической подгруппы  и пусть . Тогда , где  - нормальная в  подгруппа,  и  или  для подходящего .

 означает произведение всех разрешимых нормальных в  подгрупп.

Следствие. Если простая группа  является произведением разрешимой и циклической подгрупп, то .

Несмотря на то, что среди  при нечетном  нет групп факторизуемых разрешимой подгруппой и циклической, группы  допускают указанную факторизацию для каждого .

Из теоремы 1 вытекает

Теорема 2. Конечная группа, являющаяся произведением 2-нильпотентной подгруппы и циклической подгруппы, непроста. Если циклический фактор имеет нечетный порядок, то группа разрешима.

Работа состоит из двух параграфов. В первом параграфе приводятся необходимые вспомогательные результаты. Кроме того, доказывается теорема 3, которая является обобщением теоремы Виландта о разрешимости внешней группы автоморфизмов простой группы, содержащей подгруппу простого индекса. В 3.2 доказываются теоремы 1 и 2.

Все обозначения и определения стандартны. Запись  означает, что конечная группа  является произведением своих подгрупп  и .

3.1 Вспомогательные результаты

Пусть  - подгруппа группы . Тогда  означает наибольшую нормальную в  подгруппу, которая содержится в , a  - наименьшую нормальную в  подгруппу, которая содержит .

Лемма 1. Если  и  содержит подгруппу , нормальную в , то .

Лемма 2. Пусть  и  - нормальная в  подгруппа. Если , то .

Доказательство. Поскольку , то . Так как , то

Лемма 3 . Если  и  абелева, то .

Доказательство. Пусть . Ясно, что  и . Если , то  и . Таким образом,  и .

Лемма 4 . Пусть  и  не делит . Тогда  не сопряжен ни с одним элементом из .

Доказательство. Если , то  и  делит . Но  по лемме VI.4.5 из, поэтому . Противоречие.

Лемма 5 . Пусть  - минимальная нормальная подгруппа группы  и . Если  разрешима, то  и  изоморфна подгруппе из .

Доказательство. . Так как  разрешима, то  и . По лемме 1.4.5 из группа  есть группа автоморфизмов .

Лемма 6 . Пусть , где  - собственная подгруппа , а  циклическая. Если , то справедливо одно из следующих утверждений:

1)  и  - нормализатор силовской 2-подгруппы, а ;

2) , а ;

3) , а .

Доказательство. См. теорему 0.8 из.

Лемма 7 . Группа  при любом  является произведением разрешимой подгруппы и циклической.

Доказательство. Если , то утверждение следует из леммы 6. Пусть , и  - силовская -подгруппа в . Известно, что  циклическая и в  есть циклическая подгруппа  порядка . Так как  и , то .

Лемма 8 . Если , то  является произведением разрешимой и циклической подгрупп.

Доказательство. Известно, что , где  - циклическая группа порядка, делящего , и  нормализует подгруппу , где  - силовская 2-подгруппа в . Так как , где  - циклическая группа порядка , то  и  разрешима.

Лемма 9 . Группа  является произведением разрешимой подгруппы и циклической. Группа  не допускает указанной факторизации.

Доказательство. Группа  имеет порядок  и в ней содержится подгруппа  индекса 2. Так как  дважды транзитивна на множестве из 13 символов, то стабилизатор точки имеет порядок  и является разрешимой группой. Поэтому  является произведением разрешимой подгруппы порядка  и циклической подгруппы порядка 13.

Покажем, что  не содержит подгруппы индекса 13. Допустим противное и пусть  - подгруппа порядка . Так как  дважды транзитивна на смежных классах по , то центр  имеет нечетный порядок по лемме 2.2, а по лемме Берноайда , где .

Пусть  - подгруппа Фиттинга группы , где . Известно, что нормализатор силовской 3-подгруппы в  имеет порядок , поэтому . Так как  разрешима, то  и  изоморфна подгруппе из .

Предположим, что . Тогда  делит порядок , а значит и . Но это невозможно, так как . Противоречие.

Следовательно, . Далее , так как  - подгруппа нечетного порядка, поэтому . Ясно, что , a  и . Силовская 2-подгруппа  из  является силовской в , значит, она полудиэдральная порядка 16, все инволюции сопряжены и централизатор каждой инволюции изоморфен  порядка . Поэтому .  как подгруппа из  полудиэдральна при , либо циклическая, либо кватернионная, либо диэдральная порядка 4 или 8. В любом случае порядок  не делится на 9. Таким образом, . Противоречие. Итак,  не содержит подгруппы индекса 13.

Пусть , где  - разрешимая подгруппа, а  - циклическая. В  силовокие 13-подгруппы самоцентрализуемы, поэтому 13 делит порядок . Так как в  нет  - холловской подгруппы, то 3 делит порядок . Но в  силовская 3-подгруппа имеет экспоненту 3, поэтому в  есть подгруппа  порядка . Теперь силовская 13-подгруппа из  не самоцентрализуема. Противоречие. Лемма 9 доказана.

Теорема 3 . Если  - простая группа, где  - холловская собственная в  подгруппа, а  - абелева -группа, то  есть расширение группы, изоморфной секции из , с помощью элементарной абелевой 2-группы. В частности, если  циклическая, то  есть расширение абелевой группы с помощью элементарной абелевой 2-группы.

Доказательство. Из простоты  и леммы Чунихина вытекает, что  и  максишльна в . Представление группы  перестановками на смежных классах подгруппы  будет точным и дважды транзитивным, следовательно, есть подгруппа перестановок симметрической группы S степени, равной порядку . Так как  - регулярная и транзитивная группа и , то  также транзитивна. Но  по теореме 1.6.5, поэтому  самоцентрализуема в .

Группа автоморфизмов , индуцированная элементами из , называется группой подстановочных автоморфизмов. Очевидно , а по теореме 3 подгруппа  нормальна в  и  - элементарная абелева 2-группа.

По лемме Фраттини , поэтому обозначив  будем иметь . Так как , то  изоморфна секции из . В частности, если  циклическая, то  абелева и  есть расширение абелевой группы с помощью элементарной абелевой 2-группы.