В настоящей заметке доказывается следующая
Теорема 1. Пусть конечная группа является произведением разрешимой подгруппы
и циклической подгруппы
и пусть
. Тогда
, где
- нормальная в
подгруппа,
и
или
для подходящего
.
означает произведение всех разрешимых нормальных в
подгрупп.
Следствие. Если простая группа является произведением разрешимой и циклической подгрупп, то
.
Несмотря на то, что среди при нечетном
нет групп факторизуемых разрешимой подгруппой и циклической, группы
допускают указанную факторизацию для каждого
.
Из теоремы 1 вытекает
Теорема 2. Конечная группа, являющаяся произведением 2-нильпотентной подгруппы и циклической подгруппы, непроста. Если циклический фактор имеет нечетный порядок, то группа разрешима.
Работа состоит из двух параграфов. В первом параграфе приводятся необходимые вспомогательные результаты. Кроме того, доказывается теорема 3, которая является обобщением теоремы Виландта о разрешимости внешней группы автоморфизмов простой группы, содержащей подгруппу простого индекса. В 3.2 доказываются теоремы 1 и 2.
Все обозначения и определения стандартны. Запись означает, что конечная группа
является произведением своих подгрупп
и
.
3.1 Вспомогательные результаты
Пусть - подгруппа группы
. Тогда
означает наибольшую нормальную в
подгруппу, которая содержится в
, a
- наименьшую нормальную в
подгруппу, которая содержит
.
Лемма 1. Если и
содержит подгруппу
, нормальную в
, то
.
Лемма 2. Пусть и
- нормальная в
подгруппа. Если
, то
.
Доказательство. Поскольку , то
. Так как
, то
Лемма 3 . Если и
абелева, то
.
Доказательство. Пусть . Ясно, что
и
. Если
, то
и
. Таким образом,
и
.
Лемма 4 . Пусть и
не делит
. Тогда
не сопряжен ни с одним элементом из
.
Доказательство. Если , то
и
делит
. Но
по лемме VI.4.5 из, поэтому
. Противоречие.
Лемма 5 . Пусть - минимальная нормальная подгруппа группы
и
. Если
разрешима, то
и
изоморфна подгруппе из
.
Доказательство. . Так как
разрешима, то
и
. По лемме 1.4.5 из группа
есть группа автоморфизмов
.
Лемма 6 . Пусть , где
- собственная подгруппа
, а
циклическая. Если
, то справедливо одно из следующих утверждений:
1) и
- нормализатор силовской 2-подгруппы, а
;
2) , а
;
3) , а
.
Доказательство. См. теорему 0.8 из.
Лемма 7 . Группа при любом
является произведением разрешимой подгруппы и циклической.
Доказательство. Если , то утверждение следует из леммы 6. Пусть
, и
- силовская
-подгруппа в
. Известно, что
циклическая и в
есть циклическая подгруппа
порядка
. Так как
и
, то
.
Лемма 8 . Если , то
является произведением разрешимой и циклической подгрупп.
Доказательство. Известно, что , где
- циклическая группа порядка, делящего
, и
нормализует подгруппу
, где
- силовская 2-подгруппа в
. Так как
, где
- циклическая группа порядка
, то
и
разрешима.
Лемма 9 . Группа является произведением разрешимой подгруппы и циклической. Группа
не допускает указанной факторизации.
Доказательство. Группа имеет порядок
и в ней содержится подгруппа
индекса 2. Так как
дважды транзитивна на множестве из 13 символов, то стабилизатор точки имеет порядок
и является разрешимой группой. Поэтому
является произведением разрешимой подгруппы порядка
и циклической подгруппы порядка 13.
Покажем, что не содержит подгруппы индекса 13. Допустим противное и пусть
- подгруппа порядка
. Так как
дважды транзитивна на смежных классах по
, то центр
имеет нечетный порядок по лемме 2.2, а по лемме Берноайда
, где
.
Пусть - подгруппа Фиттинга группы
, где
. Известно, что нормализатор силовской 3-подгруппы в
имеет порядок
, поэтому
. Так как
разрешима, то
и
изоморфна подгруппе из
.
Предположим, что . Тогда
делит порядок
, а значит и
. Но это невозможно, так как
. Противоречие.
Следовательно, . Далее
, так как
- подгруппа нечетного порядка, поэтому
. Ясно, что
, a
и
. Силовская 2-подгруппа
из
является силовской в
, значит, она полудиэдральная порядка 16, все инволюции сопряжены и централизатор каждой инволюции изоморфен
порядка
. Поэтому
.
как подгруппа из
полудиэдральна при
, либо циклическая, либо кватернионная, либо диэдральная порядка 4 или 8. В любом случае порядок
не делится на 9. Таким образом,
. Противоречие. Итак,
не содержит подгруппы индекса 13.
Пусть , где
- разрешимая подгруппа, а
- циклическая. В
силовокие 13-подгруппы самоцентрализуемы, поэтому 13 делит порядок
. Так как в
нет
- холловской подгруппы, то 3 делит порядок
. Но в
силовская 3-подгруппа имеет экспоненту 3, поэтому в
есть подгруппа
порядка
. Теперь силовская 13-подгруппа из
не самоцентрализуема. Противоречие. Лемма 9 доказана.
Теорема 3 . Если - простая группа, где
- холловская собственная в
подгруппа, а
- абелева
-группа, то
есть расширение группы, изоморфной секции из
, с помощью элементарной абелевой 2-группы. В частности, если
циклическая, то
есть расширение абелевой группы с помощью элементарной абелевой 2-группы.
Доказательство. Из простоты и леммы Чунихина вытекает, что
и
максишльна в
. Представление группы
перестановками на смежных классах подгруппы
будет точным и дважды транзитивным, следовательно, есть подгруппа перестановок симметрической группы S степени, равной порядку
. Так как
- регулярная и транзитивная группа и
, то
также транзитивна. Но
по теореме 1.6.5, поэтому
самоцентрализуема в
.
Группа автоморфизмов , индуцированная элементами из
, называется группой подстановочных автоморфизмов. Очевидно
, а по теореме 3 подгруппа
нормальна в
и
- элементарная абелева 2-группа.
По лемме Фраттини , поэтому обозначив
будем иметь
. Так как
, то
изоморфна секции из
. В частности, если
циклическая, то
абелева и
есть расширение абелевой группы с помощью элементарной абелевой 2-группы.
... нужно самому вести рассказ вслед за ребенком, повторяя то, что он сказал, и обязательно, добавляя пропущенное. 3. Методика ознакомления с литературными произведениями детей младшего дошкольного возраста (до 3 лет) Если в задачах работы по развитию звуковой культуры речи в 1 младшей группе на первое место ставилось звукоподражание, то во 2 - эта работа над звукопроизношением с развитием ...
... результат работы(6), мы доказываем в настоящей заметке следующую теорему. Теорема Пусть конечная группа является произведением своих подгрупп и взаимно простых порядков, и пусть --- бипримарная группа, а --- 2-разложимая группа четного порядка. Предположим, что в есть неединичная циклическая силовская подгруппа . Тогда, если неразрешима, то изоморфна или . обозначает произведение ...
... , т.е. . Здесь обозначает матрицу, транспонированную к , где , а – величина, комплексно – сопряженная к . В этом параграфе мы покажем, что каждое представление конечной группы эквивалентно некоторому ее унитарному представлению и является мполне приводимым. Матрица называется эрмитовой, если , и положительно определенной, если для каждого ненулевого столбца . Следующая лемма тривиальна. ...
... тогда и только тогда, когда она разложима в произведение попарно перестановочных -подгрупп по разным простым 1.2.35 Т е о р е м а (Кегель [31] – Виландт [4]). Конечная группа, представимая в виде произведения некоторых своих попарно перестановочных нильпотентных подгрупп, разрешима. 1.2.36 Т е о р е м а. Пусть – некоторое множество простых чисел; – группа, факторизуемая подгруппами и где ...
0 комментариев