О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2

2. О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2

В 1953 г. Б. Хупперт установил разрешимость конечной группы, которая является произведением двух диэдральных подгрупп. Развивая этот результат, В. Скотт получил разрешимость конечной группы , допустив в качестве множителей еще так называемые дициклические группы. Эти результаты достаточно подробно изложены в монографии. Диэдральные и дицикдические группы содержат циклические подгруппы индекса 2, но далеко не исчерпывают весь класс групп с циклическими подгруппами индекса 2.

В 1974 г. автор установил разрешимость конечной группы  при условии, что факторы  и  содержат циклические подгруппы индексов 2, тем самым решив задачу, рассматриваемую Хуппертом и Скоттом. В настоящей заметке показывается, что 2-длина таких групп не превышает 2, а -длина равна 1 для любого нечетного . Эти оценки точные, на что указывает пример симметрической группы . Получены также два признака сверхразрешимости конечной факторизуемой группы.

Все встречающиеся определения и обозначения общеприняты. В частности,  - множество простых делителей порядка , a  - циклическая группа порядка .

Лемма 1 . Метациклическая группа порядка  для нечетного простого  неразложима в полупрямое произведение нормальной элементарной абелевой подгруппы порядка  и подгруппы порядка .

Доказательство. Допустим противное и пусть  - метациклическая группа порядка , разложимая в полупрямое произведение нормальной элементарной абелевой подгруппы  порядка  и подгруппы  порядка ,  - нечетное простое число. Ясно, что  неабелева. Если  содержит нормальную подгруппу  порядка  с циклической фактор-группой , то  содержится в центре  и  абелева по лемме 1.3.4, противоречие. Следовательно,  содержит циклическую подгруппу индекса  и подгруппа , порожденная элементами порядка , является элементарной абелевой подгруппой порядка  по теоремам 5.4.3 и 5.4.4. Теперь , и подгруппы  порядка  не существует. Значит, допущение неверно и лемма справедлива.

При  утверждение леммы неверно, контрпримером служит диэдральная группа порядка 8.

Лемма 2 . Разрешимая конечная группа с циклической подгруппой Фиттинга сверхразрешима.

Доказательство. Пусть  - конечная разрешимая группа с циклической подгруппой Фиттинга . Так как , то  как группа автоморфизмов циклической группы будет абелевой по теореме 1.3.10, поэтому  сверхразрешима.

Лемма 3 . Если в сверхразрешимой группе нет неединичных нормальных 2-подгрупп, то силовская 2-подгруппа абелева.

Доказательство. Коммутант сверхразрешимой группы нильпотентен (теорема VI.9.1), поэтому силовская 2-подгруппа из коммутанта нормальна в группе. Если коммутант имеет нечетный порядок, то силовская 2-подгруппа в группе абелева.

Напомним, что  - наибольшая нормальная в  -подгруппа,  - центр группы , а  - наименьшая нормальная в  подгруппа, содержащая . Через  обозначается -длина группы .

Лемма 4 . Пусть  и  - подгруппы конечной группы , обладающие, следующими свойствами:

1)  для всех ;

2) , где .

Тогда .

Доказательство. См. лемму 1.

Теорема 1 . Пусть конечная группа , где  и  - группы с циклическими подгруппами индексов . Тогда  разрешима,  и  для любого простого нечетного .

Доказательство. По теореме из группа  разрешима. Для вычисления -длины воспользуемся индукцией по порядку группы . Вначале рассмотрим случай нечетного . По лемме VI.6.4 подгруппа Фраттини единична и в группе  единственная минимальная нормальная подгруппа. По теореме III.4.5 подгруппа Фиттинга  - минимальная нормальная подгруппа. Так как , то  - -группа. Если , то  - абелева группа порядка, делящего , а так как , то . Силовская -подгруппа в  метациклическая по теореме III.11.5, поэтому  - элементарная абелева порядка  и  изоморфна подгруппе из , в которой силовская -подгруппа имеет порядок . Так как  для некоторой максимальной в  подгруппы , то из леммы 1 получаем что  - силовская в  подгруппа и .

Рассмотрим теперь 2-длину группы . Ясно, что  и  - единственная минимальная нормальная в  подгруппа, которая является элементарной абелевой 2-подгруппой. Пусть  и  - -холловские подгруппы из  и  соответственно. По условию теоремы  - циклическая нормальная в  подгруппа,  - циклическая нормальная в  подгруппа. Теперь  - -холловская в  подгруппа по теореме VI.4.6, и можно считать, что . Для любого элемента  имеем: , a по лемме 4 либо , либо . Но если , то  и  централизует , что невозможно. Значит, , а так как в  только одна минимальная нормальная подгруппа, то  и  - 2-группа. Фактор-группа  не содержит нормальных неединичных 2-подгрупп, поэтому подгруппа Фиттинга  имеет нечетный порядок. Но -холловская в  подгруппа  циклическая, а по лемме 2 фактор-группа  сверхразрешима и силовская 2-подгруппа в  абелева по лемме 3, Теперь  по теореме VI.6.6 и . Теорема доказана.

Лемма 5 . Конечная группа с подгруппой Фиттинга индекса  сверхразрешима.

Доказательство. Проведем индукцией по порядку группы. Пусть  - конечная группа, в которой подгруппа Фиттинга  имеет индекс . По индукции можно считать, что подгруппа Фраттини единична и в группе  только одна минимальная нормальная подгруппа. Поэтому F - минимальная нормальная в  подгруппа. Пусть  - инволюция из . Если , то  - нормальная в  подгруппа. Если , то  и  - неединичная нормальная в  подгруппа. Итак, в группе  имеется нормальная подгруппа  простого порядка. По индукции  сверхразрешима, значит, сверхразрешима и группа .

Лемма 6 . Конечная группа, являющаяся произведением двух подгрупп порядков, делящих , сверхразрешима.

Доказательство. Воспользуемся индукцией по порядку группы. Пусть конечная группа , где подгруппы  и  имеют порядки, делящие ,  - простое число. Все фактор-группы группы  удовлетворяют условиям леммы, поэтому по индукции нетривиальные фактор-группы группы  сверхразрешимы. Следовательно, подгруппа Фраттини группы  единична, а подгруппа Фиттинга  - минимальная нормальная в  подгруппа. По лемме 2 подгруппа  нециклическая.

Если  - 2-группа, то  и  изоморфна подгруппе группы , поэтому  - группа порядка 3, а группа  имеет порядок 12 и содержит подгруппу порядка 6. Следовательно,  сверхразрешима.

Пусть теперь  - -группа. Так как  сверхразрешима по индукции, то  2-нильпотентна. Но , так как , значит,  - 2-группа, которая по лемме 5 имеет порядок 4. Группа  неприводимо действует на подгруппе , поэтому  циклическая по теореме Машке. С другой стороны,  и силовская 2-подгруппа  из  есть произведение двух подгрупп  и  порядков 2. Противоречие. Лемма доказана.

Теорема 2. Если группы  и  содержат циклические подгруппы нечетных порядков и индексов , то конечная группа  сверхразрешима.

Доказательство. Воспользуемся индукцией по порядку группы. По теореме 1 группа  разрешима. Поскольку условия теоремы переносятся на все фактор-группы, то по индукции все нетривиальные фактор-группы группы  сверхразрешимы. Поэтому подгруппа Фраттини группы  единична, а подгруппа Фиттинга  - единственная минимальная нормальная в  подгруппа. Ясно, что  имеет непростой порядок. Если  - 2-группа, то  порядка 4 и  изоморфна подгруппе группы . Но теперь порядок  делит 12, и  сверхразрешима по лемме 6.

Следовательно,  - -группа порядка . Силовская -подгруппа в  метациклическая по теореме III.11.5, поэтому  - элементарная абелева порядка  и  изоморфна подгруппе группы , в которой силовская -подгруппа имеет порядок . Так как  для некоторой максимальной в  подгруппы , то из леммы 1 получаем, что  - силовская в  подгруппа и можно считать, что , где .

Через  - обозначим разность . Так как -холловские подгруппы  из  и  из  нормальны в  и  соответственно, то  - -холловская в  подгруппа. Если , то  сверхразрешима по лемме 6. Пусть . Для любого элемента  имеем:  и по лемме 4 либо , либо . Если , то из минимальности  получаем, что  и  централизует , что невозможно. Значит,  и . Но в  единственная минимальная нормальная подгруппа, поэтому  и  делит . Но если , то  нормальна в , противоречие. Значит, .

Так как  сверхразрешима и  - -холловская подгруппа в , то  нормальна в  и по лемме Фраттини  содержит силовскую 2-подгруппу  из . Ясно, что . Подгруппа  ненормальна в , значит, , но теперь  нормальна в  и нормальна в , противоречие. Теорема доказана.

Теорема 3 . Пусть конечная группа , где  - циклическая подгруппа нечетного порядка, а подгруппа  содержит циклическую подгруппу индекса . Если в  нет нормальных секций, изоморфных , то  сверхразрешима.

Доказательство. Воспользуемся индукцией по порядку группы. По теореме 1 группа  разрешима, а так как условия теоремы переносятся на все фактор-группы, то подгруппа Фиттинга  - единственная минимальная нормальная в  подгруппа. Если  - 2-группа, то  содержится в  и поэтому порядок  равен 4, a  изоморфна подгруппе группы . Если силовская 3-подгруппа  из  неединична, то  действует на  неприводимо и  - нормальная в  подгруппа, изоморфная , противоречие. Если , то  - 2-группа и  сверхразрешима.

Следовательно,  - -группа порядка . Так как силовская -подгруппа в  метациклическая по теореме III.11.5, то  - элементарная абелева порядка  и  изоморфна подгруппе из , в которой силовская -подгруппа имеет порядок . Так как  для некоторой максимальной в  подгруппы , то из леммы 1 получаем, что  - силовская в  подгруппа и можно считать, что , где , a .

Через  обозначим . Как и в теореме 2, легко показать, что -холловская подгруппа  из  неединична, а . Так как  - -холловская в  подгруппа и  сверхразрешима, то  нормальна в  и  содержит силовскую 2-подгруппу  из , которая совпадает с силовской 2-подгруппой в . Подгруппа  ненормальна в , поэтому . Но теперь  нормальна в , а значит, и в , противоречие. Теорема доказана.