Прості й найпростіші системи

5. Прості й найпростіші системи

Лема 9 Для всякої безупинно диференцюємої функції

для якої виконані тотожності (4), мають місце співвідношення

Теорема 10 Для всякої двічі безупинно диференцюємої функції  певної в симетричній області , що містить гіперплощина  для якої виконані тотожності (4), існує диференціальна система  c безупинно диференцюємої правою частиною, що відбиває функція якої збігається с.

Теорема 11 Для всякої двічі безупинно диференцюємої функції

певної в області  утримуюча гіперплощина , для якої виконані тотожності (4), при всіх  і досить малих  існує диференціальна система

функція, що відбиває, якої збігається  з а загальний інтеграл задається формулою

Наслідок 12 Двічі безупинно диференцюєма функція

є функцією, що відбиває, хоча б однієї диференціальної системи тоді й тільки тоді, коли для неї виконані (4)тотожності .

Системи, існування яких гарантується теоремами 10 й 11, називаються відповідно простій і найпростішої.

Теорема 13 Нехай

найпростіша система, тоді

де  – функція, що відбиває, (1)системи .

Доказ. Якщо система найпростіша,

Теорема 14 Нехай

є функція, що відбиває, деякої диференціальної системи, рішення якої однозначно визначаються своїми початковими даними, а для безупинно диференцюємої функції

виконано тотожності (4). Тоді для того, щоб в області  функція  збігалася з  необхідно й досить, щоб розглянута система мала вигляд

або вид

Де

є деяка безперервна вектор-функція.

Будемо говорити, що множина систем виду (1) утворить клас еквівалентності, якщо існує диференцюєма функція

із властивостями:

1) функція, яка відбиває

будь-якої системи з розглянутої множини збігається у своїй області визначення  з функцією

2) Будь-яка система виду (1), що відбиває функція

яке збігається в області  з функцією  втримується в розглянутій множині.

Дві системи виду (1), що належать одному класу еквівалентності, будемо називати еквівалентними. Допускаючи певну вільність мови, будемо говорити також, що вони мають ту саму функцію, що відбиває. Функцію  при цьому будемо називати функцією, що відбиває, класу, а клас - відповідної функції, що відбиває .

Із третьої властивості функції, що відбиває, треба, що (1) система й система

належать одному класу еквівалентності тоді й тільки тоді, коли система рівнянь

Сумісна

Необхідною умовою спільності цієї системи є тотожність .