Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


Реферат

Основні властивості простору Соболєва


Зміст

1. Простір Соболєва

1.1 Загальне визначення

1.2 Простір

1.3 Інше визначення узагальненої похідної

1.4 Найпростіша теорема вкладення

1.5 Простір Соболєва  й

2. Застосування просторів Соболєва в математичній фізиці

2.1 Доказ існування й одиничності узагальненого рішення рівняння Лапласа

Висновок

Список літератури


1. Простір Соболєва

1.1 Загальне визначення

Нехай у  задана замкнута обмежена область  Розглянемо лінійний простір речовинних функцій   раз безупинно диференцюємих на  Диференцюємость на замкнутій області  можна розуміти в різних змістах. Ми будемо припускати, що у  функції   раз безупинно диференцюємі, причому кожна частинна похідна функції  має межу при прагненні  до будь-якої граничної крапки області  так що в результаті її продовження на  вона стає безперервної в  Границя  області  передбачається досить гладкої. Крім того, звичайно ми будемо вважати область  одно зв'язковий і задовольняючому такому додатковому обмеженням, які можуть знадобитися в тих або інших міркуваннях.

Скористаємося для стислості наступними позначеннями. Набір індексів  називається мультиіндексом. Число  називається довжиною мультиіндекса. Для позначення часток похідних приймемо

Уведемо в розглянутому вище лінійному просторі норму

(1.1)


Отриманий нормований простір позначається  Його поповнення в нормі (1.1) позначається  й називається простором Соболєва.

У прикладних задачах досить часто зустрічається випадок  Загальноприйнятий наступне позначення:  Простір Соболєва  є гильбертовим простором – поповненням простору  в нормі, породженої скалярним добутком

Нижче ми докладніше зупинимося на окремих випадках  і  тобто розглянемо простору Соболєва на речовинній осі й у тривимірному просторі.

1.2 Простір

Розглянемо на відрізку  простір  який складається із усіляких функцій  безупинно диференцюємих на  зі скалярним добутком

(1.2)

і відповідному цьому скалярному добутку нормою

(1.3)


 є поповненням  у цій нормі. Елементами  відповідно до теореми про поповнення, є класи, що складаються з послідовностей  фундаментальних в  у середньому, точніше, таких, що

 при

Дві такі послідовності  й  належать одному класу, якщо  є нескінченно малою по нормі  тобто, якщо

 при

З умови фундаментальності в середньому  в  треба, що окремо при

Аналогічно, з умови еквівалентності  й  по нормі  треба, що при


Відповідно до визначення простору  існують функції  й  такі, що при   а  в середньому.

Ми приходимо до наступного найважливішого визначення. Нехай  Тоді у  визначені елемент  із представником  і елемент  із представником   називається узагальненій похідній (у змісті Соболєва) від  При цьому пишуть:

З визначення узагальненій похідній  видно, що вона визначається не локально, в окремих крапках, а глобально – відразу на всім відрізку  Нехай  так що   Перейдемо до межі при  в рівностях

(1.4)

(1.5)

і, відповідно до теореми про поповнення й визначення інтеграла Лебега, прийдемо до формул (1.2) і (1.3), де тепер похідні розуміються в узагальненому змісті, а інтеграл – у змісті Лебега. Для конкретних обчислень, зрозуміло, можна й потрібно користуватися формулами (1.4) і (1.5), взявши досить велике  тобто замість ідеальних елементів     скористатися їхніми гладкими наближеннями    


1.3 Інше визначення узагальненої похідної

Нехай  – множина всіх безупинно диференцюємих на відрізку  фінітних функцій  Якщо тепер  безупинно дференцюєма на відрізку  те для довільної функції  справедливо наступна інтегральна тотожність:

(1.6)

перевіряється інтегруванням вроздріб. Цією тотожністю  повністю визначається.

Допустимо, що, крім того, для будь-яких  і деякої безперервної на відрізку  функції

(1.7)

Віднімаючи ці тотожності, одержимо, що для будь-яких

Звідси, внаслідок щільності  в   на відрізку  Виявляється, інтегральна тотожність (1.7) можна прийняти за визначення узагальненої похідної. Насамперед, справедлива наступна лема.

Лема 1. Якщо  то для будь-яких  справедливо тотожність (1.6).

Доказ. Нехай  тоді для всіх  маємо (1.6):

Внаслідок властивості безперервності скалярного добутку в останній рівності можна перейти до межі при  В результаті ми одержимо тотожність (1.6) для будь-якої функції  Лема доведена.

Лема 2. Нехай дані   такі, що для всіх  справедливо тотожність (1.7). Тоді  (узагальнена похідна).

Доказ. Нехай  а  Тоді

 

при

для будь-якого

Нехай  – клас, представником якого є

Тоді


 

для будь-яких  Звідси  Лема доведена.


Информация о работе «Основні властивості простору Соболєва»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 11326
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 3

Похожие работы

Скачать
777715
34
6

... . Варять не більше 20 хв. М'ясний порошок — однорідна маса, отримана подрібненням сухого м'яса, колір світло-коричневий. Варять не більше 5 хв. Волога в порошку не більше 10%, упаковка герметична. ЛЕКЦІЯ ПО ТОВАРОЗНАВСТВУ РИБИ 1.Характеристика сімейств риб Промислові риби класифікують по декількох ознаках. По способу і місцю життя риби ділять на морських, прісноводих, напівпрохідні і прох ...

Скачать
449685
6
1

... сьогоднішній день успішна реалізація завдань психотерапевтичної роботи в ОВС силами служби психологічного забезпечення оперативно-службової діяльності є проблематичною. Слід підкреслити, що соціальна робота в органах внутрішніх справ, яка реалізується в діяльності служби психологічного забезпечення, базується на чітко визначеному правовому підґрунті. Служба психологічного забезпечення у своїй ...

Скачать
65115
2
14

... та контролю температури; германієві та кремнієві площинні діоди. Теоретичні питання знання, яких необхідне для виконання лабораторної роботи: 1. Фізичні процеси, які відбуваються в результаті контакту напівпровідників з різним типом провідності. 2. Електронно-дірковий перехід у рівноважному стані. Енергетична діаграма. 3. Інжекція та екстракція носіїв заряду. 4. Вольт амперна характеристика ( ...

Скачать
513900
3
0

... до "внутрішнього життя", що розкривається як "здатність до товариськості, психологічного розуміння чужого душевного життя... здатність до інтроспекції і споглядальної настроєності" (Кульчицький О. Основи філософії і філософічних наук. Мюнхен, Львів, 1995, С. 155). Антеїзм, екзистенційність та кордоцентризм - характерні риси, якими визначається специфічність, унікальність української світоглядно-фі ...

0 комментариев


Наверх