Найпростіша теорема вкладення

1.4 Найпростіша теорема вкладення

 

Теорема 1.  вкладено в

Доказ. Нехай  безупинно дференцюєма на відрізку  Відповідно до теореми про середній, внаслідок безперервності  найдеться крапка  така, що  Тому на відрізку  справедливо наступна тотожність:

За допомогою нерівності Коші-Буняковського маємо

де

Отже, для будь-який безупинно дференцюємої на відрізку  функції  справедлива нерівність

(1.8)

Нехай тепер послідовність  – фундаментальна по нормі  Тоді

при  Отже,  фундаментальна в змісті рівномірної збіжності й, за критерієм Коші рівномірної збіжності, сходиться до  Тим більше  в середньому. Таким чином, у класі з  утримуючої  як представник, утримується безперервна функція  й, виходить, цей клас можна ототожнити з  Ототожнимо елементи  з безперервними функціями. Нехай  Переходячи в нерівності  до межі при  прийдемо до нерівності (1.8).

Отже, вкладення  в  доведено. Доказ теореми закінчений.

1.5 Простір Соболєва  й

Нехай  – однозв'язна область із досить гладкою границею  В замкнутій області  розглянемо лінійний простір усіляких безупинно диференцюємих функцій  зі скалярним добутком

При цьому

(1.9)

Отриманий простір зі скалярним добутком позначається  а його поповнення – це, по визначенню, простір Соболєва

Нехай  – фундаментальна послідовність у  тобто  при  Звідси треба, що в  будуть фундаментальними послідовності

Внаслідок повноти  в  є елементи, які ми позначимо

так що при  в середньому

Елементи  називаються узагальненими частками похідними елемента

Скалярний добуток і норма задаються в  тими ж формулами, що й в  у які тепер похідні узагальнені, а інтегрування розуміється в змісті Лебега. Уведемо в розгляд простір  Цей простір є поповненням у нормі

(1.10)

лінійного простору функцій, безупинно диференцюємих на  й таких, що   є гильбертовим простором зі скалярним добутком

 

Лема 3. Якщо  а  те

Доказ. Досить довести першу із цих формул. Вона справедлива, якщо  а  Нехай  – фундаментальна в  послідовність, межу якої – елемент  Переходячи в тотожності  до межі при  одержимо для будь-який  Дійсно, зі збіжності в  треба, що

 

тобто безперервність скалярного добутку.

Нехай тепер  – фундаментальна послідовність у  Перейдемо до межі в тотожності

й одержимо вихідну тотожність.

Наслідок.  утримується строго усередині

Дійсно, функція  Але  інакше ми мали б

 

тобто

для кожної  Візьмемо  й одержимо протиріччя.

Теорема 2 (Фридрихс). Існує постійна  така, що для будь-яких

 

Доказ. По самому визначенню  всякий елемент із  належить  Нехай  і сходиться в  до

Побудуємо куб

 

утримуючу область Функції  визначимо нулем у  Частинна похідна  існує всюди в  за винятком, бути може, тих крапок, у яких пряма, паралельна осі абсцис, перетинає границю  області  Для будь-якої крапки  маємо

По нерівності Коші-Буняковського

Інтегруючи отриману нерівність по  знаходимо

Тому що  поза  те

Переходячи до межі при  приходимо до доказуваної нерівності Фридрихса.

Наслідок 1. Простір  вкладений в

Це пропозиція безпосередньо випливає з визначення вкладення банахових просторів і нерівності Фридрихса.

Наслідок 2. У  норми (1.9) і (1.10) еквівалентні.

Дійсно, використовуючи нерівність Фридрихса, маємо