Дифференцирование в линейных нормированных пространствах

Министерство образования и науки Российской федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Тюменский государственный университет

Институт математики и компьютерных наук

Кафедра информатики и математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине «Математический анализ»

на тему:

Дифференцирование в линейных нормированных пространствах

Выполнила: студентка 393 гр.

Жукова И.А.

Проверил: доцент кафедры МиИ

Салтанова Т.В.

Тюмень 2010

Оглавление

Введение

Основные понятия

Сильный дифференциал (дифференциал Фреше)

Слабый дифференциал (дифференциал Гато)

Формула конечных приращений

Связь между слабой и сильной дифференцируемостью

Дифференцируемые функционалы

Абстрактные функции

Интеграл

Производные высших порядков

Дифференциалы высших порядков

Формула Тейлора

Заключение1

Список литературы:

 

Введение

Функциональный анализ — раздел математики, в котором изучаются бесконечномерные пространства и их отображения.

Понятие нормированного пространства – одно из самых основных понятий функционального анализа. Теория нормированных пространств была построена, главным образом, С. Банахом в 20-х годах 20 века. Функциональный анализ за последние два десятилетия настолько разросся, настолько широко и глубоко проник почти во все области математики, что сейчас даже трудно определить самый предмет этой дисциплины. Однако в функциональном анализе есть несколько больших «традиционных» направлений, которые и поныне в значительной степени определяют его лицо. К их числу принадлежит дифференцирование линейных нормированных пространств.

Основные понятия

Определение 1. Непустое множество  называется линейным пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям:

Й. Для любых двух элементов  однозначно определен элемент , называемый их суммой, причем

1. (коммутативность)

2. (ассоциативность)

В  существует такой элемент 0, что для всех

4. Для каждого существует такой элемент , что .

II. Для любого числа  и любого элемента  определен элемент , причем

5.

6.

III. Операции сложения и умножения связаны между собой дистрибутивными законами:

7.

8.

Определение 2. Линейное пространство  называется нормированным, если на нем задана неотрицательная функция , называемая нормой, удовлетворяющая условиям:

 

для любого  и любого числа ;

 

для любых  (неравенство треугольника).

Определение 3. Оператором называется отображение

,

где - это линейные пространства.

Определение 4. Оператор  называется линейным, если для любых элементов  и любых чисел R выполняется равенство:

Определение 5. Пусть  - линейные нормированные пространства,

 – линейный оператор,

Линейный оператор непрерывен в точке , если из того, что

 следует, что .

Определение 6. Линейный оператор  непрерывен, если он непрерывен в каждой точке .

Определение 7. Линейный оператор называется ограниченным, если

  

Утверждение. Для линейного нормированного пространства непрерывность линейного оператора равносильна его ограниченности.

Определение8. Наименьшая из констант M таких, что , называется нормой оператора А и обозначается .

В частности, выполняется

Справедливо следующее утверждение: для любого ограниченного линейного оператора

 

Сильный дифференциал (дифференциал Фреше)

Пусть X и У — два нормированных пространства и F — отображение, действующее из X в Y и определенное на некотором открытом подмножестве О пространства X. Мы назовем это отображение дифференцируемым в данной точке, если существует такой ограниченный линейный оператор L_xж (X, Y), что для любого е> 0 можно найти д > 0, при котором из неравенства ||h||< д следует неравенство

|| F(x + h)-F(x)-L_xh ||<е||h|| (1)

То же самое сокращенно записывают так:

А(ч + р)-А(ч)-Д_чр = щ(р)ю(2)

Из (I) следует, что дифференцируемое в точке х отображение непрерывно в этой точке. Выражение L_xh (представляющее собой, очевидно, при каждом hX элемент пространства У) называется сильным дифференциалом (или дифференциалом Фреше) отображения F в точке х. Сам линейный оператор L_xназывается производной, точнее, сильной производной отображения F в точке х. Мы будем обозначать эту производную символом F'(x).

Если отображение F дифференцируемо в точке, то соответствующая производная определяется единственным образом. В самом деле, равенство

||L₁h — L₂h|| = o(h) для операторов

L_iж (X, У), i = 1, 2,

возможно, лишь если L₁= L₂.

Установим теперь некоторые элементарные факты, непоcредственно вытекающие из определения производной.

Если F(x) = y₀ = const, то F'(x) = О (т. е. F'(х)

в этом случае есть нулевой оператор).

Производная непрерывного линейного отображения L есть само это отображение:

L '(x)=L (3)

Действительно, по определению имеем

L(x + h)-L(x) = L(h).

3. (Производная сложной функции). Пусть X, У, Z — три нормированных пространства, U(x0)—окрестность точки х₀Х, F — отображение этой окрестности в У, у₀ = F(x₀), V(y_o) — окрестность точки у₀У и G — отображение этой окрестности в Z. Тогда, если отображение F дифференцируемо в точке х_о, a G дифференцируемо в точке у_о, то отображение Н = GF (которое определено в некоторой окрестности точки х₀) дифференцируемо в точке х_о и

H' (x₀)=G' (y₀)F' (x₀) (4)

Действительно, в силу сделанных предположений

А(ч₀ +о) = А(ч₀) + Аэ (ч₀) о +о₁ (о ) и

G (у_о + з) = G (у_о) + G' (у_о) з + о₂ (з).

Но F'(x₀) и G'(y_o) — ограниченные линейные операторы. Поэтому

H (х₀ + о) = G (у_о + F' (x₀) о + о₁ о ) = G (у_о) + G' (у₀) (F' (х₀) о + +о₁ о)) +

+о₂ (F' (x₀) о + о₁ (о )) = G (у₀) + G' (уо) F' (х₀) о + о₃ (о).

Если F, G и Н — числовые функции, то формула (4) превращается в известное правило дифференцирования сложной функции.

4. Пусть F и G — два непрерывных отображения, действующих из X в Y. Если F и G дифференцируемы в точке х₀, то и отображения F + G и aF (а — число) тоже дифференцируемы в этой точке, причем

(F + G)'(х₀) = F'(х₀) + G'(х₀) (5)

(aF)'(x₀) = aF'(x₀).(6)

Действительно, из определения суммы операторов и произведения оператора на число сразу получаем, что

(F+G)(x₀ + h) = F(x₀ + h) + G(x₀ + h) = F (х₀) + G (х₀) + F' (х₀) h +

+G' (х₀) h + o₁ (h) и

aF (x₀ + h) = aF (x₀) + aF' (x₀) h + o₂ (h),

откуда следуют равенства (5) и (6).

  Слабый дифференциал (дифференциал Гато)

Пусть снова F есть отображение, действующее из X в У. Слабым дифференциалом или дифференциалом Гато отображения F в точке х (при приращении h) называется предел

DF(x,h)=_t=0=,

где сходимость понимается как сходимость по норме в пространстве У.

Иногда, следуя Лагранжу, выражение DF(x,h) называют первой вариацией отображения F в точке х.

Слабый дифференциал DF(x,h) может и не быть линеен по h. Если же такая линейность имеет место, т. е. если

DF (х, h) = F'_c (х) h,

где F'_c (х) — ограниченный линейный оператор, то этот оператор называется слабой производной (или производной Гато).

Заметим, что для слабых производных теорема о дифференцировании сложной функции, вообще говоря, неверна.

Формула конечных приращений

Пусть О — открытое множество в X и пусть отрезок [х₀, х] целиком содержится в О. Пусть, наконец, F есть отображение X в У, определенное на О и имеющее слабую производную F'_c в каждой точке отрезка [х₀, x]. Положив Дх = х — х_о и взяв произвольный функционал У*, рассмотрим числовую функцию

f(t) = (F(x₀+t Дх)),

определенную при .Эта функция дифференцируема по t. Действительно, в выражении

можно перейти к пределу под знаком непрерывного линейного функционала. В результате получаем

F'(t) =  (F'_c(x₀+tДx) Дx)

Применив к функции f на отрезке [0, 1] формулу конечных приращений, получим

f(l) = f(0) + f'(и), где 0< и <1,

(F(x)-F(x₀))= ( F'_c(x₀+ и Дx) Дx)(7)

Это равенство имеет место для любого функционала У* (величина и зависит, разумеется, от). Из (7) получаем

|(F(x)-F(x₀))||| F'_c(x₀+ и Дx)|| || Дx|| (8)

Выберем теперь ненулевой функционал  так, что

 (F (х) - F (х₀)) = ||||  || F (х) - F (хо) ||

(такой функционал  существует в силу следствия 4 теоремы Хана — Банаха (см. п. 3 § 1 гл. IV)). При этом из (8) получаем

||(F (х) - F (x)|| || F'_c(x₀+ и Дx)||  ||Дx|| (Дx =x-x₀) (9)

Это неравенство можно рассматривать как аналог формулы конечных приращений для числовых функций. Применив формулу (9) к отображению

х —Ю А (х) — Аэс (х_о) Дч

получим следующее неравенство:

||F(x-F(х_о)-F'c (х_о) Дx ||   || F'_c(x_o+иДx) -F'_c(x₀) |||| Дx || (10)

 

Связь между слабой и сильной дифференцируемостью

Сильная и слабая дифференцируемость представляют собой различные понятия даже в случае конечномерных пространств. Действительно, из анализа хорошо известно, что для числовой функции

f(x) = f(x_1,…,x_n)

при n