Некоторые линейные операторы

Содержание

Введение

§1. Определение линейного оператора. Примеры

§2. Непрерывные линейные операторы в нормированном пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора

§3. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента

§4. Оператор умножения на непрерывную функцию

§5. Оператор интегрирования

§6. Оператор дифференцирования

§7. Оператор сдвига

Заключение

Введение

Наиболее доступными для изучения среде операторов, действующих в линейных нормированных пространствах, являются линейные операторы. Они представляют собой достаточно важный класс операторов, так как среди них можно найти операторы алгебры и анализа.

Целью дипломной работы является показать некоторые из линейных операторов, исследовать их на непрерывность и ограниченность, найти норму ограниченного оператора, а также спектр оператора и его резольвенту.

В первом и втором параграфах приведены основные сведения теории операторов: определение линейного оператора, непрерывности и ограниченности линейного оператора, его нормы. Рассмотрены некоторые примеры.

В третьем параграфе даны определения обратного оператора, спектра оператора и его резольвенты. Рассмотрены примеры.

В четвертом параграфе исследуется оператор умножения на непрерывную функцию: Ах(t) = g(t)x(t).

В пятом параграфе приведен пример оператора интегрирования Аf(t)=.

В седьмом параграфе исследуется оператор сдвига Af(x) = f(x+a).

Показана линейность, непрерывность, ограниченность, найдена норма, точки спектра и резольвента всех трех операторов.

В шестом параграфе исследуется оператор дифференцирования Дf(x)=f^/(x), в пространстве дифференцируемых функции D_{[a, b]}. Показана его линейность. Доказано, что Д не является непрерывным оператором, а также как из неограниченности оператора следует его разрывность.

§1. Определение линейного оператора. Примеры

 

Определение 1. Пусть E_x и E_y [1]– линейные пространства над полем комплексных (или действительных) чисел. Отображение А: E_x ® E_y называется линейным оператором, если для любых элементов х₁ и х₂ пространства E_x и любого комплексного (действительного) числа  выполняются следующие равенства [2]:

1.  А(х₁+х₂) = Ах₁ + Ах₂;

2.  А(х) = А(х);

Примеры линейных операторов:

1) Пусть Е = Е₁ – линейное топологическое пространство. Оператор А задан формулой:

Ax = x для всех x  Е.

Такой оператор, переводящий каждый элемент пространства в себя является линейным и называется единичным оператором.

2) Рассмотрим D_[a,b] – пространство дифференцируемых функций, оператор дифференцирования Д в пространстве D_[a,b] задан формулой:

Дf(x) = f^/(x).

Где f(x)  D_{[a, b]}, f^/(x)  C_{[a, b]}.

Оператор Д определен не на всем пространстве C_{[a, b]}, а лишь на множестве функций имеющих непрерывную производную. Его линейность, очевидно, следует из свойств производной.

3) Рассмотрим пространство С_{[-, +]} – пространство непрерывных и ограниченных функций, оператор А сдвигает функцию на const a:

Аf(x) = f(x+a).

Проверим линейность оператора А:

1) А(f+g) = (f+g)(x+a) = f(x+a) + g(x+a) = А(f) + А(g).

Исходя из определения суммы функции, аксиома аддитивности выполняется.

2) A(kf(x)) = kf(x+a) = kA(f(x)).

Верна аксиома однородности.

Можно сделать вывод, что А – линейный оператор.

4) Пусть  (пространство непрерывных функций на отрезке [0,1], и дано отображение ₁, заданное формулой:

Так как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции является функцией дифференцируемой, а, следовательно, непрерывной, то . В силу линейности определенного интеграла данное отображение является линейным оператором.

§2. Непрерывные линейные операторы в нормированном

пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора

Пусть ,  – нормированные пространства.

Определение 2 .Оператор А: Е  Е₁ называется непрерывным в точке , если какова бы не была последовательность x_n x₀, А(x_n) сходится к А(x₀). То есть, при p (x_n, x₀)  0, p (А(x_n), А(x₀))  0.

Известно и другое (равносильное) определение непрерывности линейного оператора.

Определение 3. Отображение А называется непрерывным в точке x₀, если какова бы не была окрестность[3] U точки y₀ = А (x₀) можно указать окрестность V точки x₀ такую, что А(V)  U.

Иначе >0 >0, что как только p (x, x₀) < , p (f(x), f(x₀)) < .

Теорема 1.

Если линейный оператор непрерывен в точке х₀ = 0, то он непрерывен и в любой другой точке этого пространства.

Доказательство. Линейный оператор А непрерывен в точке х₀=0 тогда и только тогда, когда . Пусть оператор А непрерывен в точке х₀=0. Возьмем последовательность точек пространства х_n®х₁, тогда х_n–х₁®0, отсюда А(х_n–х₁)®А(0)=0, т. е. А(х_n–х₁)®0.

Так как А – это линейный оператор, то А(х_n–х₁)®Ах_n–Ах₀, а тогда

Ах_n-Ах₀ ® 0, или Ах_n®Ах₀.

Таким образом, из того, что линейный оператор А непрерывен в точке х₀=0, следует непрерывность в любой другой точке пространства.

т. д-на.

Пример.

Пусть задано отображение F(y) = y(1) пространства С_{[0, 1]} в R. Проверим, является ли это отображение непрерывным.

Решение.

Пусть y(x) – произвольный элемент пространства С_{[0, 1]} и y_n(x) – произвольная сходящаяся к нему последовательность. Это означает:

 p (y_n, y) = |y_n(x)- y(x))| = 0.

Рассмотрим последовательность образов: F(y_n) = y_n(1).

Расстояние в R определено следующим образом:

p (F(y_n), F(y)) = |F(y_n) - F(y))| = | y_n(1) - y(1)|  |y_n(x)- y(x))|=p(y_n,y),

то есть p (F(y_n), F(y))  0.

Таким образом, F непрерывно в любой точке пространства С_{[a, b]}, то есть непрерывно на всем пространстве.

С понятием непрерывности линейного оператора тесно связано понятие ограниченности.

Определение 4. Линейный оператор А: Е  Е₁ называется ограниченным, если можно указать число K>0 такое, что

||Аx||  K||x||. (1)

Теорема 2.

Среди всех констант K, удовлетворяющих (1), имеется наименьшее.

Доказательство:

Пусть множество S – множество всех констант K, удовлетворяющих (1), будучи ограниченным снизу (числом 0), имеет нижнюю грань k. Достаточно показать, что k  S.

По свойству нижней грани в S можно указать последовательность (k_n), сходящуюся к k. Так как k_n S, то выполняется неравенство: |А(x)|  k_n||x||, (xE). Переходя в этом неравенстве к пределу

получаем |А(x)|  k||x||, где (xE), (k  S).

т. д-на.

Определение 5. Наименьшая из этих констант K, для которых выполняется неравенство (1), называется нормой оператора А и обозначается ||A||[4].

||А||  K, для K, подходящего для (1), то есть |А(x)|  ||А||||x||, где

||А|| = xE.

Между ограниченностью и непрерывностью линейного оператора существует тесная связь, а именно справедлива следующая теорема.

 

Теорема 3.

Для того, чтобы линейный оператор А действующий из E_x в E_y был ограничен, необходимо и достаточно, чтобы оператор А был непрерывен.

Необходимость:

Дано: А – ограничен;

Доказать: А – непрерывен;

Доказательство:

Используя теорему 1 достаточно доказать непрерывность А в нуле.

Дано, что ||Аx||  K||x||.

Докажем, что А непрерывен в нуле, для этого должно выполняться >0, >0 что ||x||<   ||Ax|| < .

Выберем  так, чтобы K*||x|| < , ||x|| < , (К>0), значит  = , тогда если ||x||< , то ||Аx||  K||x|| < K =  

Непрерывность в нуле доказана, следовательно доказана непрерывность в  точке.

Достаточность:

Дано: А – непрерывен;

Доказать А – ограничен;

Доказательство:

Допустим, что А не ограничен. Это значит, что числу 1 найдется хотя бы один соответственный вектор x₁ такой, что ||A x₁|| > 1|| x₁||.

Числу 2 найдется вектор x₂, что ||A x₂|| > 2|| x₂|| и т.д.

Числу n найдется вектор x_n, что ||A x_n|| > n|| x_n||.

Теперь рассмотрим последовательность векторов y_n = , где

||y_n|| = .

Следовательно последовательность y_n 0 при n  .

Так как оператор А непрерывен в нуле, то Аy_n 0, однако

||Аy_n || = ||A|| = ||Ax_n || > n|| x_n|| = 1, получаем противоречие с Аy_n 0, то есть А – ограничен

Для линейных операторов ограниченность и непрерывность оператора эквивалентны.

Примеры.

1) Покажем, что норма функционала[5] F(y) =  в C_{[a, b]}, где p(x) – непрерывная на [a,b] функция, равна .

По определению 5: ||F|| = |F(x)| = ||.

||  || = |y(x)|||  |y(x)|||;

||F|| = (|y(x)|||) = ||y(x)|||| = ||  .

Таким образом, норма F(y) =  будет ||F|| = ;

2) Найдем норму функционала, определенного на C[0, 2], где p(x)=(x-1)

F(y) = .

По выше доказанному ||F|| =  = 1.

§3. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента

Пусть ,  – нормированные пространства,  – линейный оператор, D_A- область определения оператора, а R_A – область значений.

Определение 6. Оператор А называется обратимым, если для любого элемента у, принадлежащего R_A, уравнение Ах=у имеет единственное решение.

Если оператор А обратим, то каждому элементу у, принадлежащему R_A, можно поставить в соответствие единственный элемент х, принадлежащий D_A и являющийся решением уравнения Ах=у. Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным оператором к оператору А и обозначается А^-1.

Теорема 4.

Для того чтобы линейный оператор  имел ограниченный обратный оператор необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство:

, (m>0).

Доказательство:

Достаточность.

Пусть выполняется данное неравенство. Тогда равенство Ax=0 возможно лишь тогда, когда x – нулевой вектор. Получим 0  m*||x||, отсюда ||x||  0, но так как норма не может быть <0, то x=0. А обращается в ноль лишь на нулевом векторе. Итак, А^-1 существует.

Докажем его ограниченность.

y=Ax.

x=A^-1y, норма ||A^-1y||=||x||, но ||x||  ||Ax||=||y||.

Отсюда ||A^-1y||  ||y||, то есть обратный оператор существует и он ограничен.

Если за m возьмем наибольшую из возможных, то получим, что ||A^-1||=.

Необходимость.

Пусть от А имеется ограниченный обратный А^-1 на нормированном пространстве.

Итак, ||A^-1y||  М||y||.

Подставляем значение y и значение A^-1y,получим ||x||  M||Ax|| (М всегда можно считать положительным числом).

Отсюда ||Ax||  ||x||.

Положим =m, получим ||Ax||  m||x||.

т. д-на.

В теории операторов важную роль играет понятие спектра оператора. Рассмотрим это понятие сначала для конечномерного пространства.

Определение 7. Пусть А – линейный оператор в n-мерном пространстве Еⁿ. Число λ называется собственным значением оператора А, если уравнение Ах=λх имеет ненулевые решения. Совокупность всех собственных значений называется спектром оператора А, а все остальные значения λ – регулярными. Иначе говоря, λ есть регулярная точка, если оператор , где I – единичный оператор, обратим, При этом оператор (А – λI)^-1, как и всякий оператор в конечномерном пространстве, ограничен. Итак, в конечномерном пространстве существуют две возможности:

1)  уравнение Ах=λх имеет ненулевое решение, то есть λ является собственным значением для оператора А; оператор (А – λI)^-1 при этом не существует;

2)  существует ограниченный оператор (А – λI)^-1, то есть λ есть регулярная точка.

В бесконечном пространстве имеется еще и третья возможность, а именно:

3)  оператор (А – λI)^-1 существует, то есть уравнение Ах=λх имеет лишь нулевое решение, но этот оператор не ограничен.

Введем следующую терминологию. Число λ мы назовем регулярным для оператора А, действующего в линейном нормированном пространстве Е, если оператор (А – λI)^-1, называемый резольвентой оператора А, определен на всем пространстве Е и непрерывен. Совокупность всех остальных значений λ называется спектром оператора А. Спектру принадлежат все собственные значения оператора А, так как, если (А – λI)х=0 при некотором х≠0, то оператор (А – λI)^-1 не существует. Их совокупность называется точечным спектром. Остальная часть спектра, то есть совокупность тех λ, для которых (А – λI)^-1 существует, но не непрерывен, называется непрерывным спектром. Итак, каждое значение λ является для оператора А или регулярным, или собственным значением, или точкой непрерывного спектра. Возможность наличия у оператора непрерывного спектра – существенное отличие теории операторов в бесконечномерном пространстве от конечномерного случая.

Определение 8. Оператор , где  – регулярная точка оператора А, называется резольвентой[6] оператора А и обозначается  (или ).

Теорема 5. Пусть  – линейный непрерывный оператор,  его регулярные числа. Тогда .

Доказательство. Умножим обе части равенства на : (==. С другой стороны получим . Так как числа  – регулярные для оператора А, то оператор  имеет обратный. Значит, из равенства  следует, что . Значит, утверждение теоремы верно.

т. д-на.

Примеры.

1) Рассмотрим в пространстве C_[0,1] оператор умножения на независимую переменную t: Ax = tx(t).

Уравнение Аx=x принимает в этом случае вид:

tx(t) - x(t) = y(t),

решение x(t) этого уравнения есть функция, тождественно ему удовлетворяющая.

Если  лежит вне отрезка [0, 1], то уравнение Аx=x имеет при любом y(t) единственное непрерывное решение:

x(t) = y(t),

откуда следует, что все такие значения параметра  являются регулярными, и резольвента есть оператор умножения на :

R(y) = y(t).

Все значения параметра, принадлежащие отрезку[0, 1], являются точками спектра. В самом деле, пусть ₀ [0, 1]. Возьмем в качестве y(t) какую-нибудь функцию, не обращающуюся в нуль в точке ₀, y(₀) = a  0. Для такой функции равенство (t - ₀)x(t) = y(t), не может тождественно удовлетворяться ни при какой непрерывной на отрезке [0, 1] функции x(t), ибо в точке t = ₀ левая часть его равна нулю, в то время как правая отлична от нуля. Следовательно, при  = ₀ уравнение Аx=x не имеет решения для произвольной правой части, что и доказывает принадлежность ₀ спектру оператора A. Вместе с тем ни одна точка спектра не является собственным значением, так как решение однородного уравнения (t - )x(t) = 0,   [0, 1], при любом t, отличном от , а следовательно, в силу непрерывности и при t = , обращается в нуль, т.е. тождественно равно нулю.

2) Пусть оператор А действующий из Е  Е, задается матрицей А=.

Аx =  = .

Введем обозначения:

 = y₁

 = y₂

x₁, x₂, y₁, y₂ E;

A - *I = , найдем определитель A - *I:

D(A - *I) =  = (2-)*(-2-) – 3 = ² – 7;

Если определитель отличен от нуля, то есть если  не есть корень уравнения ² – 7 = 0, следовательно, все такие значения параметра  регулярные.

Корни уравнения ² – 7 = 0 образуют спектр:

₁ = ; ₂ = -;

₁, ₂ – собственные значения.

Найдем собственные векторы для собственных значений :

при  =  получаем:

откуда x₁ = (2+)x₂; 1-й собственный вектор: ((2+)x, x);

при  = - получаем:

откуда x₁ = (2 - )x₂ ; 2-й собственный вектор: ((2 - )x, x);

§4. Оператор умножения на непрерывную функцию

Рассмотрим пространство  непрерывных на отрезке  функций, и оператор А, заданный формулой:

Ах(t) = g(t) x(t).

g(t) - функция, непрерывная на [a, b]; a,bR.

Проверим является ли оператора А линейным, то есть, по определению 1, должны выполняться аксиомы аддитивности и однородности.

1) Аксиома аддитивности: A(f+g) = A(f) + A(g).

A(f+g) = (g(t)+f(t))x(t) = g(t)x(t)+f(t)x(t) = A(f) + A(g).

2) Аксиома однородности: A(k*f) = k*A(f).

A(k*f) = A(k*x(t)) = k*g(t)x(t) = kA(x(t)) = k*A(f).

По средствам арифметических операции над функциями, аксиомы аддитивность и однородность выполняются. Оператор А является линейным по определению.

3) Проверим, является ли А непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:

p (f_n(x), f₀(x))  0 p (A f_n(x), Af₀(x)) 0.

Оператор А, действует в пространстве C_[], в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:

p (f_n(x), f₀(x)) = | f_n(x) - f₀(x)|.

Решение:

p (A x_n(t), Ax₀(t)) = |Ax_n(t) - Ax₀(t)| = |x_n(t)g(t) - x₀(t)g(t)| |g(t)| |x_n(t) - x₀(t)| = |g(t)|p (x_n(t), x₀(t))  0.

Итак, p (A x_n(t), Ax₀(t))