Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

1.  Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

(3)

Здесь х_1, х₂ – неизвестные;

а₁₁, …, а₂₂ – коэффициенты при неизвестных, занумерованные двумя индексами, где первый индекс означает номер уравнения, а второй индекс – номер неизвестного.

b₁, b₂ – свободные члены.

Напомним, что под решением системы (3) понимается пара значений х_1, х₂, которые при подстановке в оба уравнения обращают их в верные равенства.

В случае, когда система имеет единственное решение, это решение можно найти с помощью определителей второго порядка.

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется  определителем системы.

Обозначим определитель системы D.

D = .

В столбцах определителя D стоят коэффициенты соответственно при х₁ и при_, х₂.

Введем два д о п о л н и т е л ь н ы х о п р е д е л и т е л я , которые получаются из определителя системы заменой одного из столбцов столбцом свободных членов:

D₁ =  D₂ = .

Рассмотрим без доказательства следующую теорему:

ТЕОРЕМА КРАМЕРА (для случая n = 2)

 

Если определитель D системы (3) отличен от нуля (D ¹ 0), то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:

(4)

Формулы (4) называются формулами Крамера.

 

ПРИМЕР. Решить систему по правилу Крамера.

.

Ответ: х₁ = 3; х₂ = -1

2. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

(5)

В случае единственного решения систему (5) можно решить с помощью определителей третьего порядка.

Определитель системы D имеет вид:

Введем три дополнительных определителя:

.

Аналогично формулируется теорема.

ТЕОРЕМА КРАМЕРА (для случая n = 3)

Если определитель D системы (5) отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:

 (6)

Формулы ( 6 ) – это формулы Крамера.

ЗАМЕЧАНИЕ. Г. Крамер (1704 – 1752) – швейцарский математик.

Заметим, что теорема Крамера применима, когда число уравнений равно числу неизвестных и когда определитель системы D отличен от нуля.

Если определитель системы равен нулю, то в этом случае система может либо не иметь решений, либо иметь бесчисленное множество решений. Эти случаи исследуются особо, с ними можно подробно познакомиться в рекомендуемой литературе.

Отметим только один случай:

Если определитель системы равен нулю (D = 0), а хотя бы один из дополнительных определителей отличен от нуля, то система решений не имеет (т.е. является несовместной).

Теорему Крамера можно обобщать для системы n линейных уравнений с n неизвестными.

Если , то единственное решение системы находится по

 формулам Крамера:

Дополнительный определитель  получается из определителя D, если в нем столбец коэффициентов при неизвестном

x_i заменить столбцом свободных членов.

Заметим, что определители D, D₁, … , D_n имеют порядок n.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

На лекции рассмотрена новое понятие – определитель, подробно рассмотрены определители второго и третьего порядков, часто встречающиеся на практике. Для определителя третьего порядка приводятся два способа вычисления. Рассмотрена теорема Крамера, которая дает практический способ решения систем линейных уравнений, для случая, когда решение единственное. Более подробно с этой темой можно познакомиться в рекомендуемой литературе.