Основні теореми

1.2 Основні теореми

Теорема 1 (про диференційовність композиції відображень). Нехай – лінійні нормовані простори й задані відображення , де , – відкрита множина; , де , – відкрита множина. Якщо множина  не порожня , відображення  диференційовне в точці , а  диференційовне в точці , то складне відображення  диференційовне в точці  і

.

Доведення. Насамперед, якщо  достатньо мале, то в силу відкритості множин  та  й неперервності відображень  і  відповідно в точках  та , точки  і  не вийдуть за границі множин  та . Далі маємо

.

Оскільки  диференційовне в точці , то

,

де , якщо . В свою чергу,

де , якщо . Тому

Вираз  є лінійним оператором по , і залишається довести, що , якщо .

Маємо

.

Перший доданок справа прямує до нуля, оскільки , якщо . Прямування до нуля другого доданка можна довести так. Оскільки  диференційовне в точці , то , якщо . Тому для будь-якого  знайдеться , таке, що , якщо . В свою чергу, в силу неперервності  в точці  для даного  знайдеться  таке, що , якщо . Далі, оскільки  диференційовне в точці , то знайдеться  таке, що , якщо . Нехай . При  маємо

,

і оскільки  довільне, то це означає, що , якщо .

Теорему доведено.

Приклад 5. Розглянемо відображення , диференційоване на відкритій множині , і точки  такі, що . Тоді функція , визначена рівністю

,

диференційовна на  і .

Приклад 6. Нехай відображення  диференційоване на  і – лінійний неперервний оператор. Тоді – відображення, диференційовне на , і .

Наступна теорема є аналогом теореми Лагранжа про скінченні прирости дійсних функцій дійсних аргументів.

Теорема 2 (про скінченні прирости). Нехай відображення  диференційовне на  і відрізок  цілком входить до . Тоді

.

Доведення. Розглянемо відображення , де . Це відображення неперервне на  як композиція неперервних відображень  та , і в силу теореми 1 диференційовне всередині , при цьому

.

Тому для будь-якого лінійного функціоналу  дійсна функція  дійсного аргументу  неперервна на  і диференційовна принаймні всередині . Тобто, за теоремою Лагранжа

. (5)

Але  і

.

Тому рівність (5) набуває вигляду

.

Нехай  – функціонал з нормою, що дорівнює одиниці, і такий, що  . Тому

.

Теорему доведено.

Похожие работы

Комплексний заклад ресторанного господарства

Скачать

304576

89

18

... Чарка, стакан 4 320 2 80 400 Столові прибори (комплект) 4 320 2 80 400 Далі наведемо характеристику посуду, який будуть використовувати в комплексному закладі ресторанного господарства (табл. 2.8–2.11). Таблиця 2.8. Характеристика та призначення класичного вітчизняного порцелянового та фаянсового посуду Найменування Розміри, мм Місткість, см3, порцій Призначення ...

Технологія варених ковбасних виробів на Сумському виробничому комбінаті міста Суми

Скачать

137503

13

4

... ється, окремими технологічними операціями, специфічними виглядом і смаком, енергетичною цінністю та іншими ознаками. Варені ковбаси займають 53-60% в загальному виробництві ковбасних виробів. 3.1 Характеристика підприємства Ковбасний цех спільного підприємства Сумський виробничий комбінат розміщєно напівнічному-сході м. Суми, на відстані 1000 м від житлових кварталів. Окрім ковбасного цуху ...