Похідна Гато

1.3 Похідна Гато

Для відображень лінійного нормованого простору окрім похідної Фреше можна ввести ще одне поняття похідної.

Нехай задано відображення  і – одиничний вектор простору , який визначає певний напрямок. Границя

,

якщо вона існує, називається похідною відображення  за напрямком  (або похідною Гато) і позначається .

Якщо фіксований довільний ненульовий вектор , то часто говорять про похідну за напрямком , розуміючи під цим границю відношення  при умові, що вона існує; цю границю позначають . Ясно, що , де – одиничний вектор напрямку , тобто .

Зауваження. Похідна Фреше  і похідна за напрямком  є елементами різної природи:  є лінійний оператор з X в Y, в той час як є елементом простору Y.

Якщо відображення  диференційовне в точці  за Фреше, то воно диференційовне в цій точці за будь-яким напрямком :

.

Обернене твердження невірне (див. приклад 2, відображення  )

Це відображення диференційовне в нулі за будь-яким напрямком, оскільки при  маємо

,

звідки випливає, що  існує і дорівнює 1. В той самий час відображення  не диференційовне за Фреше в точці .

Умови, коли з диференційовності за напрямком випливає диференці-йовність за Фреше, будуть розглянуті нижче.

1.3.1 Основні теореми

Для відображень, які мають похідні за напрямками, також має місце аналог теореми Лагранжа. Проте, перш ніж формулювати та доводити цю теорему, наведемо одну лему з теорії функцій дійсної змінної.

Лема 1. Нехай дійсна функція  дійсної змінної t визначена і неперервна на відрізку  і має на проміжку  праву похідну . Якщо , , то

.

Доведення. Доведемо праву нерівність. Припустимо, що вона не вірна, тобто . Тоді найдеться достатньо мале  таке, що все ще виконується нерівність

, або (7)

Розглянемо функцію . Ця функція неперервна на  і  в силу (7). Оскільки

і , то  при , які достатньо близькі до . Тому на інтервалі  знайдуться точки, в яких  перетворюється на нуль. Нехай  – найбільший з коренів рівняння . Ясно, що . Тоді  для , звідки для всіх таких  маємо

, або .

Таким чином, , що суперечить означенню числа .

Лему доведено.

Наслідок 1. Якщо в умовах леми , то

.

Наслідок 2. Якщо при виконанні умов леми додатково  неперервна на інтервалі , то  неперервно диференційовна на .

Доведення. Нехай  і  настільки мале, що . Покладемо

, .

Згідно леми

.

Оскільки  і  прямують до  при , то з попередньої нерівності випливає, що похідна

існує та неперервна по , оскільки така права похідна .

Наслідок 2 доведено.

Теорема 1. Нехай відображення  неперервне на ,  і відрізок  цілком належить . Якщо  диференційовне за напрямком  у всіх точках відрізку , то

.

Доведення. Розглянемо функцію

,

де – довільний неперервний лінійний функціонал на просторі . Функція  неперервна на ,  має на  праву похідну . Дійсно, нехай  і  . Маємо

,

де  при . Але тоді  і, тому, існує

.

За наслідком 1 з леми 1 маємо

.

Оскільки , то ця нерівність дає

.

Нехай функціонал  такий, що . Тоді

.

Теорема 1 доведена.

Теорема 2. Якщо відображення  неперервне в  і диференційовне в кожній точці цієї множини за будь-яким напрямком , а похідна  неперервна по  і рівномірно відносно  неперервна по , то

 диференційовне в  по Фреше і .

Доведення. Покажемо, що в умовах теореми  лінійно залежить від h. Фіксуючи точку , при довільних достатньо малих h, kÎX і довільному  розглянемо функцію

двох дійсних змінних t і t. Використовуючи умови теореми і наслідок 2 з леми 1, можна показати в достатньо малому околі точки (0,0) функція  має неперервні частинні похідні

, (8)

Вводимо функцію

, a,bÎR

В силу теореми про диференціювання композиції функцій маємо

(9)

Але , звідки з урахуванням рівностей (8) та (9) отримуємо

Оскільки  довільне, то , і лінійність  доведено.

Залишається довести, що

.

Покладемо

.

неперервна на [0,1) і має на [0,1) неперервну похідну

.

За теоремою Лагранжа, , тобто

Для довільного, але фіксованого  обираємо  так, щоб  і

Тоді знаходимо

Оскільки  лінійний і неперервний (за умовою) відносно h оператор, то , де . Далі, в силу неперервності  по x рівномірно відносно h, знаходимо

,

якщо . Тому

Теорема доведена.

1.3.2 Похідні по підпростору

Поняття, проміжне між похідною Фреше і похідною за напрямком, є похідна по підпростору. Нехай дано відображення  і  – підпростір . Якщо для  існує неперервний лінійний оператор  такий, що для будь-якого , яке задовольняє умові ,

,

то відображення f називається диференційовним в точці x по підпростору X₀ і позначається . Якщо X – пряма сума підпросторів X₁ та X₂ і похідні відображення f по підпросторам X₁ та X₂ в точці  існують, то вони називаються частинними похідними відображення f в цій точці і позначаються  і .

Лема. Якщо  і відображення  має в околі точці  частинні похідні  і , неперервні в цій точці, то відображення f диференційовне в точці за Фреше і

, .

Доведення. Розглянемо

,

так як  при  і

Лема доведена.

Має місце обернене до леми твердження, причому

.

Поняття частинних похідних і попередні результати безпосередньо узагальнюються на випадок, коли X – пряма сума будь-якого скінченого числа підпросторів.

Зауваження. Оскільки в силу відповідності  простори  і  є ізоморфними, а з метриками, які породжені нормами

є ізометричними, то все вище наведене для частинних похідних переноситься на відображення виду:  де .

Нехай тепер  і, як завжди,  відкрите, так що  де , . Якщо “координатні функції”  диференційовні в точці , то  диференційовне в цій точці і . Дійсно,

,

Причому

, якщо .

Ці результати розповсюджуються на випадок відображень, які приймають значення в декартовому добутку будь-якого скінченого числа просторів.

РОЗДІЛ 2 ПОХІДНІ ФРЕШЕ ТА ГАТО В ПРИКЛАДАХ І ЗАДАЧАХ