ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМЫ ГИПЕРДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

8. ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМЫ ГИПЕРДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Рассмотрим вопрос о существовании гипердействительных чисел. Точнее этот вопрос следует сфор­мулировать так: можно ли построить расширение множества действительных чисел, для которого выполнялась бы Основная гипотеза. Основная гипотеза требует, чтобы:

(1) имелось некоторое множество R, для которого RÌ*R;

(2) для каждой функции f: Rⁿ®R имелась некото­рая функция *f: *Rⁿ®*R являющаяся продол­жением исходной;

(3) любая система уравнений и неравенств, гипердействительный аналог который имеет (гипердействительные) решения, имела действительные решения;

(4) *R содержало бесконечно малые элементы, отлич­ные от нуля.

Покажем, каким образом этим требованиям можно удовлетворить. Рассмотрим один из возможных вариантов перехода от Q (множества рациональных чисел) к R (множеству действительных чисел). Рассматриваются всевозможные фундаментальные последовательности рациональных чисел, т. е. такие последовательности, что для любого e > 0 существует отре­зок длины e, содержащий все члены последовательности, кроме конечного числа. Две такие последовательности x_n и y_n называют эквивалентными, если x_n–y_n стремится к 0 при п®¥. Это отношение эквивалентности разбивает фундаментальные последовательности на классы, которые и называются действительными числами.

Мы достигнем цели, если от последовательностей перейдем к классам последо­вательностей, считая, что две последовательности x₀,x₁,x₂,…. и y₀,y₁,y₂,… задают одно и то же гипердействительное чис­ло, если x_n=y_n “для большинства натуральных чисел n”.

Для наглядности будем представлять себе, что прово­дится голосование по вопросу “считать ли последователь­ности x_n и y_n совпадающими”. В нем голосующими явля­ются натуральные числа, причем число п голосует “за”, если

x_n =y_n , и “против”, если x_n¹y_n . Будем считать по­следовательности x_nи y_n совпадающими, если большин­ство натуральных чисел голосуют за это. Нужно объяс­нить лишь, какова система подсчета голосов, т. е. какие множества натуральных чисел мы считаем “большими” (содержащими “большинство” натуральных чисел), а ка­кие “малыми” (содержащими “меньшинство” натураль­ных чисел). Перечислим те свойства, которым должна удовлетворять система подсчета голосов, т. с. деление множеств натуральных чисел на большие и малые.

1. Любое множество натуральных чисел является либо большим, либо малым. Ни одно множество не является большим и малым одновременно. (Голосование должно всегда давать ответ.)

2. Множество всех натуральных чисел большое, пустое множество малое. (Предложение, за которое голосуют все, принимается.)

3. Дополнение (до N) любого малого множества явля­ется большим, дополнение любого большого множества – малым. (Из двух противоположных законопроектов полу­чает большинство голосов ровно одни.)

4. Любое подмножество малого множества является малым, любое надмножество большого множества – боль­шим. (Утратив часть голосов, отвергнутый законопроект не может стать принятым.)

5. Объединение двух малых множеств является малым, пересечение двух больших множеств является большим. (Если каждая из двух групп голосующих не образует большинства, то они и вместе не образуют большинства (“невозможность коалиции”); если каждая из групп со­ставляет большинство, то голосующие, входящие одновре­менно в обе группы, уже составляют большинство.)

Эти требования весьма сильны. Чтобы понять это, рас­смотрим случай конечного множества голосующих (получающийся заменой N на некоторое конечное множест­во М). Можно ли тогда удовлетворить этим требованиям? Один способ почти очевиден. Выберем одного из “голосую­щих” тÎ М и назовем большими все множества, содер­жащие m, а малыми – все множества, не содержащие т (“диктатура” m). При таком определении легко проверить все свойства 1–5. Оказывается, что этим исчерпываются все возможности удовлетворить требованиям 1–5 для случая конечного множества M. В самом деле, , пусть име­ется разбиение всех множеств на большие и малые, удов­летворяющее требованиям 1–5. Рассмотрим тогда все большие множества и выберем из них множество M0, со­держащее наименьшее возможное число элементов (среди больших множеств). Множество M0 непусто. Если оно содержит ровно один элемент m, то в силу свойства 4 все множества, содержащие т, будут большими, а в силу свойства 3 все множества, не содержащие m, будут малы­ми. Осталось показать, что M0 не может содержать более одного элемента. В самом деле, в этом случае его можно было бы разбить на две непустые непересекающиеся части M1 и M2. Эти части должны быть малыми (так как содержат меньше элементов, чем M0), а их объединение M0 является большим, что противоречит требо­ванию 5.

Оказывается, однако, что при счетном числе голосующих возможны системы голосования, удовлетворяющие требованиям 1–5 и не сводящиеся к упомянутому три­виальному случаю. Другими словами, можно так разбить все подмножества натурального ряда на большие и малые, чтобы выполнялись свойства 1–5 и любое одноэлементное множество было малым. Тогда (в силу свойства 5) и любое конечное множество будет малым, а (в силу свой­ства 3) всякое множество с конечным дополнением (до N) – большим. Таким образом, к требованиям 1–5 можно без противоречия добавить и такое:

Похожие работы

Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора

Скачать

36187

0

5

... состоит из значений функции g(x) на отрезке [a,b]. Причём этот оператор имеет лишь непрерывный спектр, так как резольвента при  существует, но не непрерывна. Точечного спектра оператор не имеет. Пример 3: Рассмотрим оператор дифференцирования на множестве дифференцируемых функций. А: (для краткости будем писать вместо f(x) просто f). Рассмотрим резольвенту этого оператора: , то есть мы должны ...

Вклад Л.Эйлера в развитие математического анализа

Скачать

31365

0

0

... «Математических лекциях о методе интеграла»[9]. Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методы решения многих дифференциальных уравнений первого порядка.   2 Вклад Л.Эйлера в развитие математического анализа   Леонард Эйлер (Euler, Leonhard) (1707–1783) входит в первую пятерку величайших математиков всех времен и народов. Родился в Базеле (Швейцария) 15 апреля ...

Человечество. Некоторые нестандартные модели

Скачать

36641

1

3

... динамике и соотношениям, которые связывают его с другими управляющими параметрами, характеризующими человеческое общество [7-10 ]. Можно установить непосредственную связь этого параметра с некоторой физической мерой, характеризующей как отдельного человека, так и человечество в целом, которая связывает этот биологический вид со всеми живыми и неживыми объектами природы – этой мерой является масса ...

Влияние использования нестандартного оборудования на формирование интереса младшего школьного возраста на уроках физической культуры

Скачать

69900

4

3

... у детей. Дети бережнее относится к инвентарю, повышается плотность урока, повышается качество обучения. Так же при использовании такого оборудования происходит влияние на формирование интереса младшего школьного возраста на уроках физической культуры. Происходит удовлетворение интереса, который может укрепляться, развиваться, становиться более глубоким и разносторонним. Интерес, таким образом, ...