Навигация
Приступим теперь к отысканию точек экстремума данной функции и участков ее монотонности
12508
знаков
0
таблиц
1
изображение
5. Приступим теперь к отысканию точек экстремума данной функции и участков ее монотонности.
Вычислим сначала ее производную:
у=
=
=
=
=
=
=
Решая уравнение у/ = 0, получим единственный корень производной:
5(3+х) = 0 х=-3
Таким образом, необходимое условие экстремума выполняется лишь в точке х = -3. Эта точка разбивает ось абсцисс на два интервала (-∞;-3) и (-3; +∞) знакопостоянства производной.
Для определения знака производной в каждом интервале (пользуясь ее непрерывностью) определим знак производной в одной какой-либо точке каждого интервала. Так как
f/(-1) = 
< 0 и f/(2) = 
= 
>0
то заключаем, что функция убывает на интервале (-∞;-3) и возрастает на интервале (-3; +∞), и значит точка х = -3 является точкой минимума данной функции.
Значение функции в этой точке (то есть минимум функции) равно
f (-3) = 
=
=-
=-3,74
С (-3;-3,74)
6. Наконец, обратимся к исследованию данной функции на выпуклость, вогнутость и существование точек перегиба.
С этой целью найдем производную второго порядка данной функции:
у=(у)//==
=
= 
=
=
=
=
Решим затем уравнение у// = 0, эквивалентное квадратному уравнению:
его корни: х1 = -5; х2 = 0,5 , которые разбивают область определения функции на три интервала знакопостоянства второй производной: (-∞; -5), (-5; 0.5), (0.5; +∞).
Для определения знака производной второго порядка в каждом из этих интервалов определим ее знак в какой-либо точке соответствующего интервала:
f//(-6) = 
=
=
< 0
f//(0) =
=
> 0
f//(2) =
=
=
< 0
Из полученных неравенств вытекает, что график функции является вогнутым на интервале (-5; 0.5), и выпуклым на интервалах (-∞; -5) и (0.5; +∞) и значит точки D (-5; f(-5)) и Е (0.5; f(0.5)), являются точками перегиба графика данной функции. Осталось найти ординаты этих точек:
f (-5) =
=
= 
≈-3,65
f (0.5) = =
=
≈ -1,53
Точки D(-5;-3,65) и E(0,5; -1,53)
Учитывая результаты полного исследования, соединим непрерывной кривой все ранее отмеченные точки предварительного чертежа так, чтобы эта кривая слева и справа неограниченно приближалась к асимптотам у=-3 и у=3
Список использованной литературы:
1 Данко. П.Е. Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., Высшая математика в упражнениях и задачах. Учебное пособие для вузов.М.: ОНИКС 21век, 2002.- 304 с.
2 Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов по экономическим специальностям. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.-479 с.
3 Коломогоров А..Н., Абрамов А..М., Дудницын Ю.П.. Ивлев Б.М., Шварцбурд С.И. Алгебра и начала анализа:Учебник .М.: Просвещение, 1993.-320 с.
4 Кудрявцев Л.Д. курс математического анализа: Учебник для студентов вузов. М.: высшая школа, 1989.-352 с.
Похожие работы
бнику, решения задач необходимо ответить на вопросы для самопроверки, помещенные в конце темы. В соответствии с действующим учебным планом студенты-заочники изучают курс высшей математики в течение 1 и 2 семестра и выполняют в каждом семестре по две контрольные работы. Первая и вторая контрольные работы выполняются студентами в 1 семестре после изучения тем 1-2 и 3-4 соответственно. Третья и ...
... f ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b]. Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...
... , проводилось по всем темам учебного плана третьего семестра и носило исследовательский характер. Исследованию подлежали два основных пункта: Целесообразность использования данной тестирующей оболочки в процессе обучения высшей математике. Создание эффективных тестов, оценивающих умения учащихся. Необходимо было решить следующие диагностические задачи: сравнить уровни усвоения учебного ...
... функций. Следует помнить, что применять формулы (1.15), (1.16) или 1-6 можно для функции только в случае, если при . Упражнения к § 3.1 Комбинаторика 3.1 Вычислить: 3.2 Решить уравнения и неравенства: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 3.3 Доказать: 1) , 2) 3) 4) 3.4 Сколько пятизначных чисел с неповторяющимися цифрами можно составить из пяти цифр ...
0 комментариев