Для будь-якої якої події А та для будь-якої серії випробувань

1. Для будь-якої якої події А та для будь-якої серії випробувань

0£p^* (A) £

2. Частота появи достовірної події

3. Якщо події А і В несумісні, то:

Дійсно, нехай під час проведення n випробувань отримано m_Aпояв події А і m_B появ події В, тоді m_A+m_{B -} кількість появи події А+В. Отже:

Якщо А і В - сумісні, то

,

тому що (рис.10)

Це наочно видно також на схемі рис.10.

Рисунок 10

Поняття частоти є основним при експериментальному вивченні випадкових подій. Однак частота не може бути об'єктивною характеристикою випадкової події, що досліджується. Вона залежить від випадкового збігу обставин, пов'язаних з даною серією випробувань, від індивідуальних особливостей самого дослідника. Проте експериментально встановлено, що зі зростанням чисельності випробувань частота стає майже сталою.

Ймовірність випадкової події відповідає в ідеалізованому вигляді тій сталій межі, до якої тяжіє частота випадкової події при необмеженому збільшенні чисельності випробувань.

Теорія ймовірностей призначена для опису випадкових подій, що мають сталу (стійку) частоту.

4. Розібрані вправи

З безлічі подружніх пар навмання вибирається одна пара. Подія А: "чоловіку більше 30 років", подія В: "чоловік старше дружини", подія С: "дружині більше 30 років".

а) З'ясувати, в чому полягають події АВС, А-АВ, .

б) Перевірити, що .

Відповідь: а) АВС - "обидва: і чоловік, і дружина - старше 30 років, причому чоловік старше дружини"; А-АВ - "чоловіку більше 30 років, але він не старше своєї дружини";  - "обидва: і чоловік, і дружина - старше 30 років, причому чоловік не старше своєї дружини";

б)  - "чоловіку більше 30 років" і "дружині не більше 30 років", отже чоловік старше дружини - В, тобто.

2. Нехай А, В, С - три довільних події. Визначити подію, що полягає в тому, що з А, В, С

а) відбулося тільки А;

б) відбулися тільки А та В;

в) усі три події відбулися;

г) відбулася принаймні одна з подій;

д) відбулися принаймні дві події;

е) відбулася одна і тільки одна подія;

ж) відбулися дві і тільки дві події;

з) жодна подія не відбулася;

і) відбулося не більше двох подій.

Відповідь:

ж)

3. Нехай А та В - довільні події, U - достовірна подія, а V - неможлива подія. Довести, що А, , , U, V утворять повну групу подій.

Відповідь: Легко перевірити, що перші три події попарно несумісні, сума їх дорівнює U.

4. У чому полягає умова сумісності подій А+В,  і ?

Відповідь: З того, що (А+В) (, випливає необхідність сумісності А і В.

5. Довести, що подія (А+В) ( є неможливою.

6. Чи є рівносильними події А і В, якщо

а)

б) А+С=В+С?

в) АС=ВС?

Відповідь: а) так; б) взагалі кажучи, необов’язково в) взагалі кажучи, необов’язково.

7. Нехай А, В, С - довільні події. Спростити дані вирази для подій:

а) (А+В) (В+С);

б) (А+В) (А+).

Відповідь:

а) (А+В) (В+С) =АВ+АС+ВВ+ВС= (А+В+С) В+АС=В+АС;

б) (А+В) (А+) = АА+АВ+А+В=А+А (В+) += А+АW+=А.