Диференціальне рівняння для виродженої гіпергеометричної функції. Вироджена гіпергеометрична функція другого роду

4. Диференціальне рівняння для виродженої гіпергеометричної функції. Вироджена гіпергеометрична функція другого роду

Покажемо, що вироджена гіпергеометрична функція є приватним рішенням диференціального рівняння

z +( -z) - u=0 (5.1)

де 0,-1,-2,…

u=F( , ,z)= z^k

= z^k-1

= z^k-2

Дійсно, позначаючи ліву частину рівняння l(u) і полога u= = F( , ,z), маємо

l( ) = z^k-2+( -z) z^k-1- z^k=

=[ - ]+[k + -k- ] 0.

Щоб одержати друге лінійне незалежне рішення розглянутого рівняння, припустимо, що , і виконаємо підстановку  .

Рівняння (5.1) перетвориться тоді в рівняння того ж виду

z +( -z) - =0

с новими значеннями параметрів =1+ , =2- . Звідси треба, що при 2,3,…функція також є рішенням рівняння (5.1).

Якщо 0, 1, 2,…обоє рішення ( ) мають сенс і лінійно незалежні між собою, тому загальний інтеграл рівняння (5.1) може бути представлений у вигляді

u= F( , ,z)+B F(1+ - ,2- ,z) (при =1 u= ) (5.2)

0, 1, 2,…

Щоб одержати вираження загального інтеграла у формі, придатної для будь-яких значень (крім =0,-1,-2,…), краще увести вироджену гіпергеометричну функцію другого роду

G , ,z)= F( , ,z)+  F(1+ - ,2- ,z)(5.3)

0, 1, 2,…

Формула (5.3) визначає функцію G , ,z) для будь-яких , відмінних від цілого числа. Покажемо, що при n+1 (n=0,1,2,…)права частина (5.3) прагнути до певної межі. Для доказу замінимо гіпергеометричні функції відповідними рядами й скористаємося співвідношенням теорії Г-Функції. Тоді одержимо (5.4)

G , ,z)= [ - ]=

= ( )

Ми маємо

 = =

n=0,1,2,…

= = =

= ,

тому вираження в правій частині (5.4) при n+1 приймає невизначений вид і прагне до межі, значення якого може бути знайдене за правилом Лопиталя. Відповідно до цього результату покладемо

G( , ,z)=  G , ,z)= (-1)ⁿ⁺¹[ ] (5.5)

n=0,1,2,…

Виконавши обчислення, знаходимо:

= [ ],

= [ ]+

+ ,

звідки для G( ,n+1,z) виходить явне вираження у формі ряду (5.6)

G( ,n+1,z)= [ ]+

+ ,

n=0,1,2,…,0,-1,-2,…,

Тут - логарифмічна похідна Г-Функція, і для випадку n=0 порожня сума приймається рівної 0.

Якщо =-m (m=0,1,2,…),те граничний перехід n+1 (n=0,1,2…)у формулі (5.3) приводить до вираження

G(-m,n+1,z)=  F(-m,n+1,z), (5.7)

m=0,1,2,... , n=0,1,2,...

З (5.3) безпосередньо треба, що Вироджена гіпергеометрична функція другого роду задовольняє функціональному співвідношенню

G( , ,z)= G( - +1,2- ,z), (5.8)

На підставі цієї формули можна визначити функцію G( , ,z) при , рівному нулю або цілому негативному числу, за допомогою рівності

G( ,1-n,z)=  G( , ,z)= zⁿ G( +n,n+1,z) (5.9)

n=1,2,…,

Таким чином, функція має сенс при будь-яких значеннях її параметрів. З донного визначення випливає, що G( , ,z) регулярна функція від z у площині з розрізом (- ,0) і ціла функція  й .

Покажемо, що функція G( , ,z) є рішенням диференціального рівняння (5.1).

При 0, 1, 2,…доказ треба безпосередньо з (5.3). Для цілих  необхідний результат може бути обґрунтований шляхом застосування принципу аналітичного продовження.

Якщо 0, 1, 2,…інтеграли F( , ,z) і G( , ,z) лінійно незалежні між собою, у чому легко переконатися, склавши вронскиан цієї пари рішень.

З (5.1) треба W{F,G}=C e^z. Порівнюючи обидві частини цієї рівності при z 0, знаходимо

C=

W{ F( , ,z),G( , ,z)}= - e^z (5.10)

0, -1, -2,…,

Загальний інтеграл рівняння (7.1) у цьому випадку може бути представлений у формі

u = AF( , ,z)+BG( , ,z) (5.11)

, 0, -1, -2,…,

Функція G( , ,z) володіє рядом властивостей, аналогічних властивостям функції F( , ,z). Так, наприклад, мають місце формули диференціювання:

 G( , ,z)= - G( +1, +1,z)

 G( , ,z)= (-1)^m G( +m, +m,z) (5.12)

m=1,2,...

рекурентні співвідношення:

G- G( +1)-G( -1)=0, (5.13)

( - )G+G( -1) -zG( +1)=0, (5.14)

( -1+z)G - G( -1)+( - +1)G( -1)=0, (5.15)

( +z)G+ ( - -1)G( +1)-zG( +1)=0, (5.16)

G( -1)+(2 - +z)G + ( - +1)G( +1)=0, (5.17)

( - -1)G( -1)- ( -1+z)G + zG( +1)=0, (5.18)

G G( , ,z), G( 1)  G( 1, ,z), G( 1)  G( , 1,z)

і так далі.

Справедливість цих формул випливає з визначення функції G і відповідних властивостей функції F.

5. Подання різних функцій через вироджені гіпергеометричні функції

Як ми вже відзначали, багато елементарних і спеціальних функцій, що зустрічаються в аналізі, можуть бути вироджені через функцію F( , ,z).

Ми маємо, наприклад,

1) F( , ,z)= =

тому що

F(1,2,z)= = ,

тому що

3) F(-2,1,z)=

Висновок

Курсова робота присвячена дослідженню гіпергеометричних функцій. Можна зробити висновок:

Гіпергеометричні функції застосовуються в різних розділах математичного аналізу, зокрема, при рішенні диференціальних рівнянь і при розгляді інших спеціальних функцій.

За допомогою гіпергеометричних функцій виражаються не тільки сферичні, еліптичні, але й ряд інших, у тому числі й елементарні функції.

У роботі розглянуті визначення гіпергеометричного ряду й гіпергеометричної функції, доведені деякі елементарні властивості гіпергеометричної функції, функціональні й спеціальні функціональні співвідношення, подання різних функцій через гіпергеометричну, вироджену функція 1 і 2 роди, диференціальне рівняння для виродженої гіпергеометричної функції і його інтеграли, подання різних функцій через вироджені гіпергеометричні функції.

Література

1. Балк М.Б. Математичний аналіз: теорія аналітичних функцій. – К., 2000

2. Гурвиц А.І., Теорія функцій. – К., 2004

3. Евграфов М.О. Аналітичні функції. – К., 2003

4. Лебедєв І.І. Спеціальні функції і їхні додатки. – К., 2000

5. Маркушевич. М.М. Введення в теорію аналітичних функцій. – К., 1999

6. Смирнов В.И. Курс вищої математики тім 3,4. – К., 2005

7. Уиттекер І, Ватсон У. Курс сучасного аналізу тім 1,2. – К., 2000

8. Фихтенгольд К. Курс диференціального й інтегрального вирахування. – К., 2004

9. Фильчаков М. Довідник по вищій математиці. – К., 2000