Елементарні властивості гіпергеометричної функції

1.2 Елементарні властивості гіпергеометричної функції

У справжньому розділі ми розглянемо деякі властивості гіпергеометричної функції, які безпосередньо випливають із її визначення за допомогою ряду (1.1).

1. Беручи до уваги, що члени ряду не змінюються при перестановці параметрів і  маємо співвідношення симетрії

F( , , ,z)= F( , , ,z), (2.1)

2. Диференціюючи розглянутий ряд по членне, знаходимо

 F( , , ,z)= = =

= = F( +1, +1, +1,z)

Таким чином,  F( , , ,z)=  F( +1, +1, +1,z) (2.2)

3. Повторне застосування цієї формули приводить до рівностей

 F( , , ,z)=  F( +m, +m, +m,z) (2.3)

m=1,2,...

Покладемо надалі для скорочення запису

F( , , ,z)= F,

F( 1, , ,z)= F( 1),

F( , 1, ,z)= F( 1),

F( , , 1,z)= F( 1).

Функції F( 1), F( 1), F( 1) називаються суміжними з F.

4. Ми покажемо, що F і будь-які дві суміжні функції зв'язані між собою рекурентним співвідношенням з коефіцієнтами, що є лінійними функціями змінного z. Як основні співвідношення цього типу можуть бути обрані рівності (2.4), (2.5), (2.6) відповідно.

( - - )F+ (1-z)F( +1)-( - )F( -1)=0,

( - -1)F+ F( +1)-( - 1)F( -1)=0,

(1-z)F- F( -1)+( - )F( +1)=0.

Підставляючи ряд (1.1) в (2.4) маємо (2.4)

( - - )F+ (1-z)F( +1)-( - )F( -1)=

=( - - ) + (1-z) -( -

) =

= {( - - ) + -( - ) -

}z^k=

= {( - - )( +k-1)+( +k)( +k-1)-( - )( -1)

( -k-1)k} z^k=0,

тому що

z

= =

= ( +1)...( +k-1)

=( +1)...( +k-1)( +k)

=( -1) ( +1)...( +k-2)

= ( +1)…(+k-2)

=( +1)…(+k-2)(+k-1)

=(-1)(+1).......( +k-3)

Формули (2.5) і (2.6) доводяться аналогічним способом:

( - - )F+ F ( +1)-( - 1)F( -1)=

= { ( - -1) +-( - 1) =

= { - -1 + + k-( +k-1)}z^k=0,

(1-z)F- F ( -1)+( - )zF( +1)=

= {  - - +( - ) }z^k

= { ( + k -1)( + k-1)- ( + k -1)k- ( -1)( + k-1)

+( - ) k}z^k=0,

З (2.4)-(2.6) і властивості симетрії (2.1) треба три інших рівності:

( - - )F+ (1-z)F( +1)-( - )F( -1)=0, (2.7)

( - -1)F+ F ( -1)-( - 1)F( -1)=0, (2.8)

(1-z)F- F ( -1)+( - )zF( +1)=0. (2.9)

( - - )F+ (1-z)F( +1)-( - )F( -1)=

= {( - - ) + - -( -

) } z^k =

= {( - - )( +k-1)+ ( + k -1)( +k)- ( +k-1)k -( - )( -

1)}z^k=0,

( - -1)F+ F ( -1)-( - 1)F( -1)=

= {( - -1) +-( - 1) } z^k =

= { - -1+ ( + k )- ( +k-1)}z^k=0,

(1-z)F- F ( -1)+( - )zF( +1)=

= { --+( - ) } z^k

= { ( +k-1)( +k-1)- k( +k-1)-  ( +k-1)( -1)+k

( - )}z^k=0.

Інші рекурентні співвідношення виходять із (2.4) - (2.9) шляхом виключення з відповідної пари формул загальної суміжної функції. Наприклад, комбінуючи (2.5) і (2.8) або (2.6) і (2.9) одержуємо

( - )F- F ( +1)+ F( +1)=0 (2.10)

( - )(1-z)F+( - )F ( -1)-( - )F( -1)=0 (2.11)

і так далі

( - )F- F ( +1)+ F( +1)=

= {( - ) + + } z^k=

= { - - ( +k)+  ( +k)} z^k =0.

( - )(1-z)F+( - )F ( -1)-( - )F( -1)=

= {( - ) -( - ) +( - ) -( -

) } z^k=

= {( - )( +k-1)( +k-1)-( - )( +k-1)k+( - )( -1)( +k-1)-

( - )( +k-1)( -1)}z^k=0.

Крім розповсюджених рекурентних співвідношень існують аналогічні співвідношення, що зв'язують гіпергеометричну функцію виду F( , , ,z) з який – або парою родинних функцій виду F( +1, +m, +n,z), де l,m,n – довільні цілі числа.

Найпростішими рекурентними співвідношеннями цього типу є

F( , , ,z)-F( , , -1,z)=  F( +1, +1, +1,z) (2.12)

F( , +1, ,z)- F( , , ,z)=  F( +1, +1, +1,z) (2.13)

F( , +1, +1,z)- F( , , ,z)=  F( +1, +1, +2,z)(2.14)

F( -1, +1, ,z)- F( , , ,z)=  F( , +1, +1,z) (2.15)

До даного класу ставляться також рівність (1.6)

Формули (2.12) і (2.15) доводяться підстановкою в них ряду (1.1) або виводяться на основі вже відомих рекурентних співвідношень для суміжних функцій.