Поверхневі інтеграли

ПОВЕРХНЕВІ ІНТЕГРАЛИ

 

1. Поверхневі інтеграли першого роду

Поверхневі інтеграли першого роду є узагальненням подвійних інтегралів.

Нехай у точках деякої кусково-гладкої поверхні  визначена обмежена функція . (Поверхня називається гладкою, якщо в кожній її точці існує дотична площина і при переході від точки до точки положення цієї дотичної площини змінюється неперервно. Поверхня, яка складається із скінченного числа неперервно з’єднаних гладких поверхонь, називається кусково-гладкою.) Розіб'ємо поверхню  на  довільних частин  без спільних внутрішніх точок (рис. 1); нехай  – площа, а  – діаметр частини поверхні . У кожній частині  виберемо довільну точку  і складемо суму

.(1)

Рисунок 1 – Поверхня

Цю суму називають інтегральною сумою для функції  по поверхні .

Якщо при  інтегральні суми (1) мають скінченну межу, яка не залежить ні від способу розбиття поверхні , ні від вибору точок , цю границю називають поверхневим інтегралом першого роду від функції  по поверхні  і позначають .

Таким чином, за означенням

.(2)

У цьому разі функція  називається інтегровною по поверхні , а поверхня  – областю інтегрування.

Якщо функція  неперервна на поверхні , то вона інтегровна по .

Обчислення поверхневого інтеграла першого роду зводиться до обчислення подвійного інтеграла.

Нехай гладка поверхня , задана рівнянням , проектується на площину  в область . Припустимо, що функція  неперервна на поверхні , а функції  неперервні в області .

Внаслідок розбиття поверхні  на частини  область  розіб'ється на частини , які є відповідними проекціями частин  на площину  (рис. 2).

Рисунок 2 – Розбиття поверхні  на частини

Якщо  – площа області ,  – площа поверхні , то

,

тому інтегральну суму (1) можна записати у вигляді

.(3)

Права частина цієї рівності є інтегральною сумою для функції

,

тому з рівностей (2) і (3) випливає, що

.(4)

Формула (4) виражає поверхневий інтеграл першого роду через подвійний інтеграл по проекції поверхні  на площину .

Аналогічно можна отримати формули, що виражають інтеграл по поверхні  через подвійні інтеграли по її проекціях на площини  та . Якщо поверхня  задається рівнянням  або , то

,

де  та  – проекції поверхні  на координатні площини  та  відповідно.

Якщо у формулі (2) покласти  на поверхні , то отримаємо

,(5)

де  – площа поверхні , тобто за допомогою поверхневого інтеграла першого роду можна обчислювати площі поверхонь.

Крім того, поверхневі інтеграли першого роду застосовують при обчисленні маси, координат центра маси, моменту інерції матеріальної поверхні з відомою поверхневою густиною розподілу маси. Виведення відповідних формул по суті не відрізняється від виводу аналогічних формул для матеріальної пластинки.

Якщо на кусково-гладкій поверхні  розподілено масу з поверхневою густиною , то:

а) маса матеріальної поверхні

;

б) координати центра маси поверхні:

,

де  – статичні моменти поверхні  відносно осей ;

в) моменти інерції поверхні відносно осей координат і початку координат: