Формула Остроградського-Гаусса

3. Формула Остроградського-Гаусса

Формула Остроградського-Гаусса встановлює зв'язок між поверхневим інтегралом по замкненій поверхні і потрійним інтегралом по просторовій області, обмеженій цією поверхнею. Ця формула є аналогом формули Гріна, яка, як відомо, встановлює зв'язок криволінійного інтеграла по замкненому контуру з подвійним інтегралом по плоскій області, обмеженій цим контуром.

Нехай замкнена область  обмежена замкненою поверхнею , причому знизу та зверху обмежена гладкими поверхнями  та , рівняння яких  та  (рис. 7).

Рисунок 7 – Замкнена область

Припустимо, що проекцією області  на площину  є область . Нехай в області  визначено неперервну функцію , яка в цій області має неперервну похідну .

Розглянемо потрійний інтеграл

.

У правій частині цієї рівності перший подвійний інтеграл запишемо за допомогою поверхневого інтеграла по зовнішній стороні поверхні , а другий подвійний інтеграл – по зовнішній стороні поверхні . Враховуючи кути між нормаллю  та віссю , отримуємо

.(13)

Аналогічно, припустивши, що функції ,  неперервні в області , можна отримати формули

,(14)

.(15)

Додавши почленно рівності (13), (14) і (15), отримаємо формулу

,(16)

яку називають формулою Остроградського-Гаусса. Ця формула справедлива і для довільної області , яку можна розбити на скінченне число областей, для яких виконуються рівності (13) – (15).

За допомогою формули Остроградського-Гаусса зручно обчислювати поверхневі інтеграли по замкнених поверхнях.

 

4. Формула Стокса

 

Формула Стокса встановлює зв'язок між поверхневим і криволінійним інтегралами. Нехай  – поверхня, задана рівнянням , причому функції  – неперервні в області  – проекції поверхні  на площину ;  – контур, який обмежує , а  – проекція контуру  на площину , тобто  – межа області .

Виберемо верхню сторону поверхні  (рис. 8).

Рисунок 8 – Поверхня

Якщо функція  неперервна разом із своїми частинними похідними першого порядку на поверхні , то справедлива формула

.(17)

поверхневий інтеграл формула стокс

Доведення

Перетворимо криволінійний інтеграл, який міститься у лівій частині рівності (17). Оскільки контур  лежить на поверхні , то координати його точок задовольняють рівняння , і тому значення функції  у точках контуру  дорівнюють значенням функції  у відповідних точках контуру . Звідси випливає, що

.

Застосовуючи до знайденого інтеграла формулу Гріна, отримаємо

.

Тут підінтегральна функція дорівнює частинній похідній по  від складеної функції .

Оскільки  – верхня сторона поверхні, тобто  ( – гострий кут між нормаллю  до поверхні  і віссю ), то нормаль має проекції . Але напрямні косинуси нормалі пропорційні відповідним проекціям, тому

,

Тоді

Отже,

.

Аналогічно можна довести, що при відповідних умовах справедливі формули:

;(18)

.(19)

Додаючи почленно рівності (17), (18) і (19), отримуємо формулу

,

яка називається формулою Стокса. За допомогою формули (8), яка пов'язує поверхневі інтеграли першого та другого роду, цю формулу можна записати так:

(20)

Формула Стокса дає змогу обчислювати криволінійні інтеграли по замкнутих контурах за допомогою поверхневих інтегралів.

З формули Стокса випливає, що коли виконуються рівності

,(21)

то криволінійний інтеграл по довільному просторовому замкненому контуру  дорівнює нулю:

.(22)

А це означає, що в даному випадку криволінійний інтеграл не залежить від форми контура інтегрування.