Обчислення потрійного інтеграла

2. Обчислення потрійного інтеграла

Обчислення потрійного інтеграла зводять до обчислення повторних, тобто до інтегрування за кожною змінній окремо.

Нехай область  обмежена знизу і зверху поверхнями  і , а з боків циліндричною поверхнею, твірні якої паралельні осі . Позначимо проекцію області  на площину  через  (рис. 1) і вважатимемо, що функції  і  неперервні в .

Рисунок 1 – Область

Якщо при цьому область  є правильною, то область  називається правильною у напрямі осі . Припустимо, що кожна пряма, яка проходить через кожну внутрішню точку  паралельно осі , перетинає межу області  у точках  і . Точку  назвемо точкою входу в область , а точку  – точкою виходу з області , а їхні аплікати позначимо відповідно через  і . Тоді ,  і для будь-якої неперервної в області  функції  має місце формула

.(5)

Зміст формули (5) такий. Щоб обчислити потрійний інтеграл, потрібно спочатку обчислити інтеграл  за змінною , вважаючи  та  сталими. Нижньою межею цього інтеграла є апліката точки  входу , а верхньою – апліката точки виходу . Внаслідок інтегрування отримаємо функцію  від змінних  та .

Якщо область , наприклад, обмежена кривими  і  , де  і  – неперервні функції, тобто

, то, переходячи від подвійного інтеграла  до повторного (п. 1.3), отримаємо формулу

,(6)

яка зводить обчислення потрійного інтеграла до послідовного обчислення трьох визначених інтегралів. Порядок інтегрування може бути й іншим, тобто змінні  і  у правій частині формули (6) за певних умов можна міняти місцями.

Якщо, наприклад, область  правильна в напрямі осі :

,

де  – неперервні функції, то

.

Зокрема, якщо областю інтегрування є паралелепіпед:

,

то

. (7)

У цьому разі інтегрування виконується в будь-якому порядку, оскільки область  правильна у напрямі всіх трьох координатних осей .

Похожие работы

Подвійний інтеграл

Скачать

10798

0

7

... йного інтеграла зводять до обчислення так званого повторного інтеграла - двох звичайних визначених інтегралів. Покажемо, як це робиться. Припустимо, що при  функція . Тоді, згідно з формулою (7), подвійний інтеграл виражає об'єм циліндричного тіла (рис.3) з основою , обмеженого зверху поверхнею . Обчислимо цей об'єм за допомогою методу паралельних перерізів [6]: , де  - площа перерізу тіла ...

Поверхневі інтеграли

Скачать

11969

0

10

... ія поверхні  на координатну площину де  – елемент площі поверхні  – кути між нормаллю до поверхні  та осями  відповідно, то справедливі такі формули: На практиці найпоширенішими є поверхневі інтеграли, які об'єднують усі названі, тобто .(8) Якщо, наприклад, вектор  є швидкістю рідини, то кількість  рідини, яка протікає через поверхню  за одиницю часу, називається потоком вектора   ...

Застосування подвійних інтегралів

Скачать

7761

0

9

... Під знаком границі маємо інтегральну суму, складену для неперервної в області  функції . Ця функція інтегровна в області , тому границя у формулі (10) існує і дорівнює подвійному інтегралу (8).   3. Застосування подвійних інтегралів до задач механіки 1. Маса пластини. Нехай на площині  маємо матеріальну пластину, яка має форму обмеженої замкненої області , в кожній точці якої густина визначає ...

Рентгеноструктурний аналіз молибдену

Скачать

124946

0

33

... слабо, лічильник Гейгера реєструє лише невелике число минулих через нього фотонів. Тому ефективність газонаповнених лічильників до цього випромінювання невелика. Ефективнішими для рентгеноструктурних досліджень рідин є сцинтиляційні лічильники. Вони є поєднанням: а) кристала-сцинтилятора йодного натрію, активованого талієм, б) фотоелектронного помножувача (ФЕП); в) попереднього підсилювача на ...