Лінійні перетворення (оператори) із простору V в V

2.  Лінійні перетворення (оператори) із простору V в V

В подальшому будемо розглядати лінійні оператори, діючі із лінійного простору  в той самий простір. Ці оператори називають також перетвореннями із  в .

Назвемо тотожнім (одиничним) оператор  такий, що для любого вектора  простору . Очевидно, , , для любих . З цього випливає, оператор  – лінійний і, тому, . Неважко упевнитися в тому, що оператор  – єдиний. Дійсно, якщо припустити що, крім тотожного оператора  з , існує ще один тотожний оператор , тоді для будь-якого  будемо мати , , очевидно, , тобто .

Введемо операцію множення операторів. Нехай  та  – два будь-яких лінійних оператора з , а  – довільний вектор простору . Очевидно вектор , тому цей вектор можна привести за допомогою оператора . В результаті вектор  буде перетворений до вектору . Оператор, який приводить довільний вектор  простору  у вектор , називається добутком операторів  та  і позначається так: . За означенням добутку операторів  і   для будь-якого вектору . Легко перевірити, що  , , де  – довільно вибране комплексне число. З цього слідує, що добуток лінійних операторів є лінійним оператором, тобто . Зауважимо, що .

Операції додавання та множення лінійних операторів мають наступні властивості

1) , 3) ,

2) , 4) .

Для ілюстрації способу доведення цих властивостей доведемо властивість . Нехай  – довільний вектор простору . Для довільного вектору  простору за означенням добутку і суми операторів має

Таким чином, , тобто .

Якщо для оператору  можна вказати такий лінійний оператор , що , то оператор  називають оберненим для оператору . Можна показати, що оператор  – єдиний.

Покажемо, що оператор , що має обернений, перетворює ненульовий вектор в ненульовий, тобто якщо , то й . Спочатку доведемо, що . Дійсно, так як  – лінійний оператор, то для будь-якого  . Доведене твердження справедливе для будь-якого лінійного оператора, в тому числі і для оператора, що має обернений, і для оператора . Нехай  і . Так як оператор  має обернений, то , тобто . Якщо припустити, що деякому  відповідає вектор , тоді на основі установлених рівностей  і виходило б, що . А це заперечує початковому фактові, що . З цього випливає, що припущення про те, що для деякого  , невірно, тому для будь – якого  .

Доведемо ще одну властивість оператора , що має обернений. Такий оператор два різних вектора  та  перетворює у два різні вектори  і . Дійсно, якщо припустити противне, що існують такі нерівні один одному  і , для яких , тоді для таких  і   або, що те саме . За умовою оператор  має обернений. За доведеною вище властивістю такого оператора із рівності  випливає, що , тобто . Ми прийшли до протиріччя з тим фактом, що за умовою . З цього випливає, що будь – яким двом різним векторам  і  відповідають різні образи  і .

Оператор  називають взаємно – однозначним, якщо два будь – які різні вектори  і  він перетворює у різні вектори  і . Із наведеного вище випливає, що оператор , що має обернений, є взаємно – однозначним. Для взаємно – однозначного оператора неважко довести таку властивість: якщо , то і . Покажемо, що взаємно – однозначний оператор  лінійно незалежні вектори , , …,  перетворює в лінійно незалежні вектори , , …, . Для доведення цього твердження скористаємося методом «від противного». Припустимо противне, що вектори , …,  – лінійно незалежні. Тоді можна знайти такі не рівню нулю числа,  що . Так як оператор  – лінійний, то .

Звідси за властивістю взаємно-однозначного оператора , тобто вектори , , …,  виявляються лінійно залежними. Протиріччя з умовою ствердження означає, що вектори , , …,  лінійно незалежні.

Із доведеного випливає, що будь-який вектор  простору  має єдиний прообраз  такий, що . Доведемо тільки єдність прообразу вектора . Дійсно, якщо припустити, що вектор  має декілька різноманітних прообразів, наприклад,  і , то виявиться, що . Звідси , маємо , так як оператор взаємно-однозначний. Отже, якщо оператор  – взаємно-однозначний, то кожному вектору  простору  він ставить у відповідність один і тільки один вектор . Звідси випливає, що взаємно-однозначний оператор має обернений.

Підводячи підсумок сказаному вище про властивості оберненого і взаємно-однозначного операторів, сформулюємо наступне твердження.

Теорема 2.1. Для того, щоб лінійний оператор  мав обернений необхідно і достатньо, щоб він був взаємно-однозначним.

Введемо поняття ядра й образу оператора. Ядром лінійного оператора  називають таку множину  векторів простору , що для любого  . Відомо, що будь-який лінійний оператор приводить вектор  в , тобто , тому ядро довільного лінійного оператора не є пустою множиною, так як воно завжди містить оператор .

Теорема 2.2. Якщо  містить єдиний вектор , то оператор  є взаємно-однозначним.

Доведення. Нехай - два довільно взятих вектора лінійного простору. Якщо показати, що , то це буде означати, що оператор  є взаємно-однозначним. Припустимо противне, що знайдуться два вектора  і , такі, що , а . Тоді для цих векторів . За умовою теореми  складається із єдиного вектора , тобто для вектора  і тільки для нього . В силу цього  чи . Ми прийшли до протиріччя з припущенням про те, що . Тому для будь-яких не рівних один одному векторів  і  простору  . Отже, твердження теореми вірне.

Теорема 2.3. Для того, щоб оператор  мав обернений, необхідно і достатньо, щоб .

Доведення цієї теореми основується на теоремах 2.1 і 2.2 про обернений оператор і ядро взаємно-однозначного оператора.

Образом оператора  називається множина всіх векторів простору , кожний з яких має прообраз, тобто якщо , то існує такий вектор , що . Легко побачити, що якщо  містить тільки нульовий вектор, то  є весь лінійний простір : . Дійсно, якщо , то оператор  є взаємно-однозначним. За доведеною вище властивістю взаємно-однозначного оператора кожний вектор  простору  має єдиний прообраз : , так що .

Покажемо тепер, що множина  для довільного лінійного простору  є підпростором лінійного простору . Нехай  і  – два довільно взятих вектори множини . Так як , то . Нехай  – довільне число. Так як , то . Таким чином, лінійні операції над будь-якими векторами множини  дають вектори тієї ж множини, тобто  – підпростір простору .

Аналогічним способом доводиться, що множина  також є підпростором простору .

Розмірність підпростору  називається дефектом оператора. Розмірність підпростору  називається рангом оператора . Для рангу оператора  використовується одне з позначень  або , для позначення дефекту оператора використовується символ .

Теорема 2.4. Для будь-якого лінійного оператора  із сума розмінностей його ядра і образу дорівнює розмірності простору , тобто або .

Теорема 2.5. Нехай  і - два яких-небудь підпростори - мірного простору , причому . Тоді існує такий лінійний оператор , що , а .

Доведення. Нехай - розмірність підпростору , тобто , а  – розмірність підпростору . За умовою теореми . Виберемо базис - мірного простору  так, щоб  векторів  було базисом підпростору . В підпросторі  візьмемо який-небудь базис . Розглянемо лінійний оператор , який перетворює вектори простору  у вектори , а кожний з векторів у нульовий вектор, тобто .

Оператор  довільний вектор  простору  приводить у вектор  , який належить підпростору  простора . Звідси випливає, що , тобто підпростір  містить образ оператора . Щоб довести, що , треба за означенням множини  показати, що будь-який вектор  підпростору , має прообраз у просторі . Розглянутий лінійний оператор  перетворює вектори  простору  у вектори , тому довільно взятий вектор  підпростору  можна представити у вигляді . В силу лінійності оператора и також того, що , вектор  можна представити також і в такій формі:  , де  – довільно вибрані комплексні числа. Останній вираз для довільного вектору  означає, що він є образом вектора  простору . Таким чином, .

Покажемо тепер, що підпростір  є ядром оператора . Нехай  який-небудь вектор підпростору . Так як , то це означає, що вектор  входить в ядро оператора . Звідси випливає, що підпростір . Для доведення того, що треба показати, що будь-який вектор  простору , що не належить підпростору , не може бути елементом ядра оператора . Нехай - вектор простору , який не належить підпростору . Зрозуміло, що хоча б одна із координат  цього вектору не рівна нулю, так як в протилежному випадку . Розглянемо . Так як  лінійно незалежні вектори, а серед чисел  є відмінні від нуля, то . Це означає, що будь-який вектор, що не належить підпростору , не належить і ядру оператора . Отже, .

Теорема 2.6. Нехай  і  – два яких-небудь лінійних оператора із множини , тоді , .

Доведення. Нехай  – довільний вектор простору . Зрозуміло, що . Будь-який вектор  множини  за означенням добутку операторів це вектор . Останній є вектором множини . З цього слідує, що має місце включення . А це означає, що , тобто . Перше твердження теореми доведено.

Доведемо справедливість другого. Нехай  – довільний вектор ядра оператора , тоді , і, тому, . Це означає, що якщо , то , тобто . Звідси випливає нерівність . Позначимо через  розмірність простору . Згідно теореми 2.4 , . Так як , то , тобто .

Теорема 2.7. Нехай  – розмірність простору ,  і  – лінійні оператори із , тоді .

Похожие работы

Моделювання ефективності комплексної системи захисту автоматизованих інформаційних ресурсів комерційного банку

Скачать

367716

10

48

... В АБС АКБ «ПРОМІНВЕСТБАНК» ТА ОЦІНКА РІВНЯ ВРАЗЛИВОСТІ БАНКІВСЬКОЇ ІНФОРМАЦІЇ 3.1 Постановка алгоритму задачі формування та опис елементів матриці контролю комплексної системи захисту інформації (КСЗІ) інформаційних об’єктів комерційного банку В дипломному дослідженні матриця контролю стану побудови та експлуатації комплексної системи захисту інформації в комерційному банку представлена у вигляді ...

Підвищення ефективності роботи підприємства на основі застосування економіко-математичних методів (на прикладі ВАТ "Дніпрополімермаш")

Скачать

155152

18

31

... і над плановим. Відомо, що собівартість є одним з головних джерел резервів підвищення ефективності роботи підприємства. Звідси сформуємо мету і задачі даної роботи. Метою даної роботи є підвищення ефективності роботи підприємства ВАТ «Дніпрополімермаш» шляхом управління собівартістю продукції. Відповідно, для досягнення поставленої мети необхідно вирішити наступні задачі: 1.   Проаналізувати ...

Розробка системи керування та актуалізації інформації web-сайту національного оператора енергоринку

Скачать

156341

11

15

... в даній роботі, була опробована й досліджена в реальних умовах моєї професійної діяльності й показала свою працездатність і ефективність. 3. Розробка системи керування та актуалізації інформації web-сайту національного оператора Енергоринка   3.1 Вибір інструментарію для створення web-сайту та системи керування   Перед тим, як безпосередньо перейти до створення Web-сайту Національного ...

Розвиток теорії надання банківських послуг на прикладі ДФ АБ "Правексбанк"

Скачать

110266

18

12

... маржі В такому випадку, макимізація прибутку відбувається за рахунок швидкого обороту коштів. Запропонований метод було прийнято як альтернативний метод визначення умов надання банківських послуг в Дніпропетровській філії АБ "Правексбанк", що дозволило збільшити фінансовий результат за перші 5 місяців 2008 року на 6 процентів. 4. АВТОМАТИЗОВАНА ІНФОРМАЦІЙНА СИСТЕМА   Рис. 4.1 – Блок- ...