Власні значення і власні вектори оператора

5.  Власні значення і власні вектори оператора

 

Число  називається власним числом лінійного оператора , якщо у просторі  можна знайти такий ненульовий вектор , що

(5.1)

Будь-який ненульовий вектор, задовольняючий рівності (5.1), називають власним вектором оператора , що відповідає власному значенню .

Рівність (5.1) можна записати по іншому , де  – тотожний оператор. Оскільки  – ненульовий вектор, то зрозуміло, що розмірність ядра оператора  не менше одиниці. Нехай  – розмірність простору , в якому діє оператор . Відомо, що . Звісно,

. Але тоді .

Таким чином, якщо число  є власним значенням оператора , то  є коренем рівняння  (характеристичне рівняння або вікове рівняння оператора ).

Вияснимо, чи всі корені характеристичного рівняння  будуть власними значеннями оператора . Нехай  – який-небудь корінь рівняння, тоді для цього значення  . Це означає, що матриця оператора  буде виродженою у будь-якому базисі простору . Як наслідок, . Так як , то . А це означає, що існую по меншій мірі один ненульовий вектор , такий, що  чи . Таким чином, будь-який корінь характеристичного рівняння  буде власним значенням оператора , тобто вірне твердження.

Теорема 5.1. Для того, щоб комплексне число  було власним значенням лінійного оператора , необхідно і достатньо, щоб це число було коренем характеристичного рівняння .

Нехай  – базис простору  и нехай

,

матриця лінійного оператора  у цьому базисі. Відомо, що матриця тотожного оператора  в будь-якому базисі буде одиничною, тому в розглянутому базисі простору  оператор  характеризується такою матрицею

.

Визначник цієї матриці, тобто , називається характеристичним або віковим визначником оператора . Легко побачити, що добуток елементів головної діагоналі вікового визначника буде многочленом степені , решта членів визначника будуть многочленами степені не вище . З цього видно, що віковий визначник оператора  є многочленом степені . За наслідком з основної теореми алгебри такий многочлен має  коренів, якщо кожний корінь рахувати стільки разів, яка його кратність. Тому число власних значень оператора , діючого в -мірному просторі, дорівнює , якщо кожне власне значення рахувати стільки разів, яка його кратність.

Відомо, що в різних базисах простору  матриці оператора , взагалі-то, різні. У зв’язку з цим виникає питання про пошук такого базису простору , в якому матриця оператора має найпростіший вигляд (найбільше число нульових елементів). Припустімо, що у просторі  існує базис  всі вектори якого є власними векторами оператора , тобто  . У цьому базисі матриця оператора буде мати діагональний вигляд

.

Навпаки, якщо в якому-небудь базисі простору  матриця лінійного оператора  має діагональний вид, то всі вектори базису є власними векторами оператора . Таким чином, доведено наступне твердження.

Теорема 5.2. Для того, щоб матриця лінійного оператора  у базисі  простору  була діагональною, необхідно і достатньо, щоб вектори  були власними векторами оператора . Теорема 5.3. Якщо власні значення  лінійного оператора , діючого в -мірному просторі , різні, тоді відповідні їм власні вектори  лінійно незалежні.

Наслідок. Якщо характеристичне рівняння  має  різних коренів, то у -мірному векторному просторі існує базис, в якому матриця оператора  має діагональний вид.

Якщо оператор  має кратні власні значення, то може виявитися, що максимальна лінійно незалежна сукупність власних векторів оператора  не буда утворювати базис лінійного простору, в якому діє оператор . У зв’язку з цим виникає питання, якими векторами доповнити до базису простору максимальну лінійно незалежну сукупність власних векторів, щоб у цьому базисі матриця мала найпростіший вигляд. Відповідь на це питання дав французький математик Жордан.

Вектор  називається приєднаним вектором оператора , що відповідає кратному власному значенню  цього оператора, якщо можна вказати таке натуральне число , що . Число  називається порядком приєднаного вектора . Нехай  – приєднаний вектор порядку , що відповідає власному значенню . Позначимо через  вектор . Тоді за означенням приєднаного вектора  або . Вектор  виявляється власним вектором оператора . Цю властивість приєднаного вектора можна використовувати при побудові приєднаних векторів за заданим власним вектором .

Теорема 5.4. (теорема Жордана). У -мірному векторному просторі  існує базис , побудований із  власних векторів  і відповідних їм приєднаних векторів, такий, що

, ; , .

У цьому базисі матриця оператора  має наступний вид

,

де - квадратна матриця порядку  (клітка Жордана):

.

Вказана в теоремі 5.4 форма матриці  оператора  називається жордановою або канонічною формою матриці цього оператора.

На кінець відмітимо, що якщо  – власний вектор лінійного оператора , то і вектор , де  – довільно взяте відмінне від нуля число, також буде власним вектором оператора . Дійсно,

.

Приклад 1. З’ясувати, які з перетворень , заданих шляхом завдання координат вектора  як функцій координат вектора , являються лінійними, і в випадку лінійності знайти їх матриці в тому базисі, в якому задано координати векторів  і .

.

Розв’язання: Для того, щоб дізнатись, чи являються лінійними функції координат вектора треба перевірити, чи виконуються наступні дві аксіоми:

Аксіома адитивності: .

Для будь-яких векторів  та  повинно виконуватись

.

.

Аксіома адитивності виконується.

Перевіримо аксіому однорідності:

Так як властивість адитивності і однорідності виконується, тому перетворення  – лінійне.

Приклад 2. З’ясувати, які з перетворень , заданих шляхом завдання координат вектора як функцій координат вектора , являються лінійними, і в випадку лінійності знайти їх матриці в тому базисі, в якому задано координати векторів і .

.

Розв’язання: Для того, щоб дізнатись, чи являються лінійними функції координат вектора треба перевірити, чи виконуються наступні дві аксіоми:

Аксіома адитивності: .

Для будь-яких векторів  та  повинно виконуватись

.

Так як властивість адитивності не виконується, тому перетворення  – не лінійне.

Приклад 3. Показати, що множення квадратних матриць другого порядку а) зліва, б) з права на дану матрицю  являються лінійними перетвореннями простору всіх матриць другого порядку, і знайти матриці їх перетворень в базисі, який складається з матриць:

, , ,

Розв’язання: За означенням матриці лінійного перетворення , . Знаходимо образи базисних векторів і обчислюємо їх координати в заданому базисі:

Розташувавши отримані координати образів за стовпчиками отримаємо матрицю лінійного перетворення:

.

Приклад 4. Лінійне перетворення  в базисі  має матрицю

A=

Знайти матрицю цього ж перетворення в базисі: e, , , +.

Розв’язання: Формула зв’язку між векторами старого і нового базисів у матричному записі має вигляд:

Обернену матрицю знайдемо за допомогою приєднаної:

Підставляємо отримані значення в формулу, отримаємо:

.

Приклад 5. Знайти власні значення і власні вектори лінійного перетворення, заданому в деякому базисі матрицею: .

Розв’язання: Складаємо характеристичне рівняння і розв’язавши його знаходимо власні числа:

Розв’язуємо її методом Гауса, для цього приводимо матрицю до східчастого вигляду:

Складаємо однорідну систему рівнянь для визначення власних векторів:

Оскільки максимальна кількість лінійно незалежних власних векторів менша за вимірність простору, то власні вектори не утворюють базис простору і таким чином матриця не діагоналізуєма.

Приклад 6. З’ясувати, яку з матриць лінійних перетворень можна привести до діагонального виду шляхом переходу до нового базису. Знайти цей базис і відповідну йому матрицю:

Розв’язання: Складаємо характеристичне рівняння і розв’язавши його знаходимо власні числа:

Розв’язуємо її методом Гауса, для цього приводимо матрицю до східчастого вигляду:

A=

Власні вектори мають вигляд: .

 ,

Формула зв’язку між векторами старого і нового базисів у матричному записі має вигляд:

.

Матриця діагоналізована.

Приклад 7. З’ясувати, яку з матриць лінійних перетворень можна привести до діагонального виду шляхом переходу до нового базису. Знайти цей базис і відповідну йому матрицю:

Розв’язання: Складаємо характеристичне рівняння і розв’язавши його знаходимо власні числа:

Розв’язуємо її методом Гауса, для цього приводимо матрицю до східчастого вигляду:

A=

A=

Матриця не може бути діагоналізованою, так як а.к.=г.к.=1.

Висновки

В даній курсовій роботі розглянуто базові властивості лінійних операторів, поняття матриці лінійного оператора та питання зв’язку матриць оператора у різних базисах. Крім того, до роботи включені питання діагоналізіруємості матриці оператора, які пов’язані з існуванням базису, що складається з власних векторів оператора. За усіма розглянутими теоретичними питаннями зроблена підборка задач, яка їх ілюструє та допомагає детально розібратися в теоретичному матеріалі.

оператор вектор лінійний матриця базис

Перелік посилань

1.  Курош А.Г. Курс вищої алгебри. – М.: Наука, 1968. – 331 с.

2.  Кострикін А.И., Манін Ю.И. Лінійна алгебра і геометрія. – М.: Наука, 1986. – 304 с.

3.  Проскуряков І. В. Збірник задач з лінійної алгебри. – М.: Наука, 1974. – 384 с.