Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


3.  Матриця лінійного оператора

 

Нехай - деякий базис лінійного простору , а  – який-небудь лінійний оператор, діючий із  в . Вектор  оператор  перетворює в вектор . Вектори  простору  розкладемо по векторах базису  цього простору. Побудуємо матрицю  порядку , стовпці якої складені із координат векторів ,

, , .

Матриця  називається матрицею оператора  в базисі .

Приклад. Записати матрицю тотожного і нульового операторів у базисі  простору .

Розв’язок. Тотожний оператор  будь-який вектор простору  приводить в той же самий оператор. Тому . А це означає, що матриця  тотожного оператора буде одиничною в будь-якому базисі простору . Нульовий оператор  будь-який вектор простору  перетворює в нульовий вектор, тому матриця  цього оператора – нульова в будь-якому базисі.

Із сказаного вище випливає, що в обраному базисі -мірного простору  з кожним лінійним оператором  можна зв’язати квадратну матрицю  порядку . Виникає питання: чи можна кожній квадратній матриці  порядку  поставити у відповідність такий лінійний оператор , матриця якого в заданому базисі  простору  співпадає з матрицею ? Стверджувальну відповідь на це питання дає

Теорема 3.1. Нехай  – деяка квадратна матриця порядку . Нехай  – довільний обраний базис -мірного лінійного простору . Тоді існує єдиний лінійний оператор , який у вказаному базисі має матрицю .

Доведення. Розглянемо лінійний оператор , який вектори  базису простору  перетворює у вектори , . У базисі  оператор , очевидно, має матрицю . Залишається довести, що є єдиним оператором з матрицею. Припустимо протилежне, що, крім оператора , існує ще лінійний оператор , маючий матрицю  в базисі . Це означає, що , . Виберемо який-небудь вектор  простору  і розглянемо вектори  і . Маємо  .

Як наслідок, що для будь-якого  . Звідси витікає, що . Теорему доведено.

Теорема 3.2. Нехай  – матриця лінійного оператора  в базисі  простору . Ранг оператора  дорівнює рангу його матриці: .

Доведення. В основі доведення лежать означення рангу оператора і рангу матриці: , ранг матриці  дорівнює рангу системи його стовпців.

Нехай  – який-небудь вектор - мірного простору . Образом вектора  є вектор  . Як бачимо, довільний вектор образу оператора , тобто множини , представляє собою лінійну комбінацію векторів . Отже,  є лінійною оболонкою множини векторів . Відомо, що розмірність лінійної оболонки дорівнює рангові системи векторів, які вони утворюють, тому . За означенням у стовпцях матриці  оператора  розміщені координати векторів  у базисі . Отже, на основі означення рангу матриці . Таким чином, .

Нехай  і  матриці операторів  і  в якому-небудь базисі простору , тоді із способу побудови цих матриць витікає, що матриці операторів  і , де  і  – довільно взяті числа, рівні відповідно  і . Доведемо справедливість першого твердження, як більш складного. Дійсно, стовпці матриці оператора  побудовані із координат векторів  у базисі  простору . Визначимо елементи -го стовпця цієї матриці, тобто координати вектора . Маємо


Звідси видно, що довільний елемент  матриці  оператора дорівнює , тобто дорівнює сумі добутків елементів -го рядка матриці  на відповідний елемент -го стовпця матриці . А це означає, що . Твердження доведено.

Із доведеного твердження і теорем 2.6, 2.7 про ранг оператора  слідує справедливість таких нерівностей для двох добутків квадратних матриць  і  одного порядку .

, ,

Відомо, що необхідною і достатньою умовою існування оберненого оператора для оператора , є умова , де  – розмірність простору . Із теореми 3.2 витікає, що остання умова еквівалентна вимозі: матриця  оператора  повинна бути не виродженою.

Іншими словами, щоб оператор  мав обернений необхідно і достатньо, щоб його матриця в якому-небудь базисі лінійного простору  виявилась не виродженою.


Информация о работе «Властивості лінійних операторів та їх застосування при розв’язанні задач. Матриця лінійного оператора»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 26324
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 5

Похожие работы

Скачать
367716
10
48

... В АБС АКБ «ПРОМІНВЕСТБАНК» ТА ОЦІНКА РІВНЯ ВРАЗЛИВОСТІ БАНКІВСЬКОЇ ІНФОРМАЦІЇ 3.1 Постановка алгоритму задачі формування та опис елементів матриці контролю комплексної системи захисту інформації (КСЗІ) інформаційних об’єктів комерційного банку В дипломному дослідженні матриця контролю стану побудови та експлуатації комплексної системи захисту інформації в комерційному банку представлена у вигляді ...

Скачать
155152
18
31

... і над плановим. Відомо, що собівартість є одним з головних джерел резервів підвищення ефективності роботи підприємства. Звідси сформуємо мету і задачі даної роботи. Метою даної роботи є підвищення ефективності роботи підприємства ВАТ «Дніпрополімермаш» шляхом управління собівартістю продукції. Відповідно, для досягнення поставленої мети необхідно вирішити наступні задачі: 1.   Проаналізувати ...

Скачать
156341
11
15

... в даній роботі, була опробована й досліджена в реальних умовах моєї професійної діяльності й показала свою працездатність і ефективність. 3. Розробка системи керування та актуалізації інформації web-сайту національного оператора Енергоринка   3.1 Вибір інструментарію для створення web-сайту та системи керування   Перед тим, як безпосередньо перейти до створення Web-сайту Національного ...

Скачать
110266
18
12

... маржі В такому випадку, макимізація прибутку відбувається за рахунок швидкого обороту коштів. Запропонований метод було прийнято як альтернативний метод визначення умов надання банківських послуг в Дніпропетровській філії АБ "Правексбанк", що дозволило збільшити фінансовий результат за перші 5 місяців 2008 року на 6 процентів. 4. АВТОМАТИЗОВАНА ІНФОРМАЦІЙНА СИСТЕМА   Рис. 4.1 – Блок- ...

0 комментариев


Наверх