Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


4.  Перетворення матриці оператора при заміні базису

 

Нехай у просторі  обрані два базиси  і . Перший базис для зручності назвемо старим, а другий – новим. Координати векторів  у старому базисі розмістимо у стовпцях матриці


.

Побудована матриця називається матрицею переходу від старого базису до нового. Вектори  лінійно незалежні, тому  і, звісно, матриця  не вироджена.

Згідно сказаному

(4.1)

Ці формули зв’язку між векторами старого і нового базисів у матричному записі мають вигляд

,

де  – транспонована матриця .

Теорема 4.1. Матриці  і  оператора  в базисах  і  зв’язані співвідношеннями

,

,


де  – матриця переходу від старого базису  до нового .

Доведення. За означенням матриці оператора

,

де  і  – елементи матриць  і . Замінимо в останній рівності вектори  згідно формулам (4.1), отримаємо

 (4.2)

З іншого боку

Але

Тому

 (4.3)

Із двох отриманих виразів (4.2) і (4.3) для вектора виходить, що


У цій рівності вектори  лінійно незалежні, тому коефіцієнти про однакових векторах у лівій і правій частинах рівності мають бути однаковими, отже,

,

Згідно означенню добутку двох матриць звідси витікає матричне рівність . Якщо помножити обидві частини цієї рівності на  праворуч, то отримаємо , якщо помножити на  злів, то будемо мати . Теорему доведено.

Матриці  і  одного й того ж порядку називаються подібними, якщо можна знайти таку не вироджену матрицю  того ж порядку, що . Із цього означення і теореми 4.1 витікає, що матриці оператора  у різних базисах виявляються побідними. Покажемо, що визначники подібних матриць  і  рівні. Дійсно, згадавши, що визначник добутку квадратних матриць дорівнює добутку визначників співмножників, можемо записати

.

Із доведеного твердження виходить, що визначник матриці оператора не змінюється при заміні базису. У зв’язку з цим доречно ввести поняття визначника оператора. Визначником оператора  називають число , рівне визначнику матриці оператора  в якому-небудь базисі простору.

Приклад. Лінійний оператор  діє на вектори базису  наступним чином: . Знайти визначник оператора .

Розв’язок. Матриця оператора  у базисі  має вигляд

,

тобто є верхньою трикутною. Визначник цієї матриці дорівнює одиниці, тому і .


Информация о работе «Властивості лінійних операторів та їх застосування при розв’язанні задач. Матриця лінійного оператора»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 26324
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 5

Похожие работы

Скачать
367716
10
48

... В АБС АКБ «ПРОМІНВЕСТБАНК» ТА ОЦІНКА РІВНЯ ВРАЗЛИВОСТІ БАНКІВСЬКОЇ ІНФОРМАЦІЇ 3.1 Постановка алгоритму задачі формування та опис елементів матриці контролю комплексної системи захисту інформації (КСЗІ) інформаційних об’єктів комерційного банку В дипломному дослідженні матриця контролю стану побудови та експлуатації комплексної системи захисту інформації в комерційному банку представлена у вигляді ...

Скачать
155152
18
31

... і над плановим. Відомо, що собівартість є одним з головних джерел резервів підвищення ефективності роботи підприємства. Звідси сформуємо мету і задачі даної роботи. Метою даної роботи є підвищення ефективності роботи підприємства ВАТ «Дніпрополімермаш» шляхом управління собівартістю продукції. Відповідно, для досягнення поставленої мети необхідно вирішити наступні задачі: 1.   Проаналізувати ...

Скачать
156341
11
15

... в даній роботі, була опробована й досліджена в реальних умовах моєї професійної діяльності й показала свою працездатність і ефективність. 3. Розробка системи керування та актуалізації інформації web-сайту національного оператора Енергоринка   3.1 Вибір інструментарію для створення web-сайту та системи керування   Перед тим, як безпосередньо перейти до створення Web-сайту Національного ...

Скачать
110266
18
12

... маржі В такому випадку, макимізація прибутку відбувається за рахунок швидкого обороту коштів. Запропонований метод було прийнято як альтернативний метод визначення умов надання банківських послуг в Дніпропетровській філії АБ "Правексбанк", що дозволило збільшити фінансовий результат за перші 5 місяців 2008 року на 6 процентів. 4. АВТОМАТИЗОВАНА ІНФОРМАЦІЙНА СИСТЕМА   Рис. 4.1 – Блок- ...

0 комментариев


Наверх