Навигация
2. Изопериметрическая задача
Согласно преданию давным-давно финикийская царевна Дидона с небольшим отрядом преданных ей людей покинула родной город Тир, спасаясь от преследований своего брата Пигмалиона. Ее корабли отправились на запад по Средиземному морю, и плыли пока Дидона не заметила удобное для поселения место на африканском побережье, в нынешнем Тунисском заливе. [4, 13]
Король местных жителей нумидийцев Ярб согласился продать Дидоне лишь маленький, по его мнению, участок земли, "в пределах воловьей шкуры". Однако Дидона поступила хитрее. Она разрезала шкуру на тонкие ремни и связала их в одну длинную ленту. Затем перед царевной стояла задача, как этой лентой отгородить участок земли наибольшей площади. Дидона успешно справилась с поставленной задачей и на этом месте основала город Карфаген.
Итак, Дидоне пришлось решать следующую задачу:
Как нужно расположить шнур фиксированной длины L, чтобы он отгораживал от прямолинейного берега участок земли максимальной площади? [4, 14]
Задача Дидоны является частным случаем изопериметрических задач. Это название происходит от двух греческих слов: isos - равный и perimetron - обмер, обвод. Изопериметрическая задача состоит в том, чтобы среди данной совокупности фигур, имеющих одинаковую длину контура (одинаковый периметр), найти ту, чья площадь больше площади любой другой фигуры рассматриваемой совокупности.
Рассмотрим простой пример. Пусть выделенный класс геометрических фигур состоит из всех треугольников с данным периметром, тогда изопериметрическая задача заключается в том, чтобы найти треугольник данного периметра, у которого площадь максимальна. Таким треугольником является равносторонний треугольник.
Значительно более сложной является основная изопериметрическая задача:
Среди всех плоских фигур данного периметра L найдите ту, которая имеет максимальную площадь. [5, 22]
Ответом этой задачи является круг. Еще в древней Греции было известно, что круг имеет большую площадь, чем все другие фигуры с тем же самым периметром, а шар — наибольший объем среди всех тел с одной и той же поверхностью. Недаром круг и шар были в древности символами геометрического совершенства. В начале второго века до нашей эры греческий геометр Зенодор написал специальный трактат "О фигурах, имеющих равную периферию". О существовании этого трактата мы узнаем из сочинений греческих комментаторов Зенодора — Паппа (III в. н. э.) и Теона (IV в. н. э.). Сама рукопись Зенодора утеряна. [5, 23]
Хотя ответ в основной изопериметрической задаче и кажется очевидным, строгое ее решение содержит определенные трудности. Швейцарский геометр Штейнер, впервые, доказавший что только круг может служить решением изопериметрической задачи предположил, что фигура наибольшей площади существует. Однако это рассуждение не является строгим. [3, 30]
Рассмотрим общие свойства изопериметрических фигур максимальной площади, для множества фигур на плоскости с данным периметром р.
Свойство 1.2.1. Всякая максимальная фигура выпукла.
Доказательство.
Пусть хорда А1В1, соединяющая точки А1, В1 нашей фигуры, не лежит целиком внутри нее. Тогда, очевидно, некоторый отрезок этой хорды, скажем АВ, лежит весь (кроме концов) вне фигуры. Можно считать поэтому, что дана фигура с периметром АаВС, равным р, не содержащая хорду АВ (рис. 1.2.1). Заменим дугу а хордой АВ. Периметр при такой замене уменьшится, а площадь увеличится на часть АаВ. Построим теперь фигуру, подобную построенной фигуре А
ВС, но с периметром, равным периметру первоначальной фигуры АаВС. У новой фигуры площадь будет больше, чем у второй (поскольку коэффициент подобия больше единицы), и подавно больше, чем у первоначальной.
Свойство доказано. [5, 24]
Свойство 1.2.2. Всякая хорда максимальной фигуры с периметром р, делящая пополам ее периметр, обязательно делит ровно пополам и ее площадь.
Доказательство.
Действительно, пусть у фигуры АВСD с периметром р хорда АС делит периметр пополам (рис. 1.2.2). Обозначим через S1, площадь фигуры AВС, а через S2 - площадь АDС. Предположим, что S1>S2. Построим тогда новую фигуру АВСEА, заменив линию АDС линией АЕС, симметричной с АВС относительно хорды АС. Новая фигура АВСЕА, имея прежний периметр, имеет площадь больше площади первоначальной фигуры, так как площадь новой фигуры равна 2S1, а площадь первоначальной равна S1+S2, в то время как по предположению S1>S2 и, следовательно, 2S1>S1+S2. Поэтому фигура АВСD не является, вопреки предположению, максимальной. Это доказывает, что предположение S1> S2 неверно. Аналогично доказывается, что и предположение S1<S2 приводит к противоречию. Окончательно, S1= S2.
Свойство доказано. [3, 31]
Так как при преобразовании подобия площадь плоской фигуры и квадрат ее периметра увеличиваются или уменьшаются в одинаковое число раз и, следовательно, отношение площади к квадрату периметра не меняется, то задачу можно сформулировать следующим образом:
Среди всех плоских фигур найти фигуру, для которой отношение площади к квадрату периметра было бы наибольшим. [8, 67]
В задаче 1.2.5 доказывается, что если выпуклая фигура Ф отлична от круга, то существует фигура 
, имеющая тот же самый периметр, что и Ф, и большую площадь. При этом в задаче 1.2.5 утверждается, что такой фигурой может быть только круг. Таким образом, может показаться, что задача 1.2.5 полностью решает изопериметрическую задачу. Однако, хотя это заключение и является верным (см. задачу 1.2.6), пока мы не имеем оснований делать это заключение с полной определенностью: задача 1.2.5 подсказывает ответ изопериметрической задачи, но не дает ее решения. Яркий пример, показывающий, что существование решения надо доказывать, доставляет следующая модификация парадокса Перрона:
Теорема 1.2.1. Среди всех квадратов наибольшую площадь имеет квадрат со стороной 1.
Доказательство
Пусть наибольшую площадь имеет квадрат со стороной a. Рассмотрим два случая: а<1 и a>1. Если а<1, то а2<1 и площадь квадрата со стороной а не является наибольшей (она меньше площади единичного квадрата). Если же а>1, мы возьмем квадрат со стороной b=а2. Тогда b>а (так как а> 1), и площадь квадрата со стороной b будет b2, притом b2 >а2 (так как b>а). Значит, квадрат со стороной а не имеет наибольшую площадь, вопреки предположению.
Теорема доказана. [5, 23]
В доказательстве этой теоремы допущена ошибка, а именно не доказано, что существует квадрат наибольшей площади.
Рассмотрим решение задачи Дидоны, пользуясь изопериметрическим свойством круга (см. задачу 1.2.6).
Пусть AВС и А’В’С’ представляют собой полукруг и какую-нибудь другую фигуру, удовлетворяющую всем условиям задачи. Прибавляя к этим фигурам фигуры АDС и А’D’С’, симметричные с первыми относительно осей АС и А’С’, составим две новые фигуры: круг АВСD и отличную от круга фигуру А’В’С’D’, периметры которых равны 2l. Согласно основной теореме об изопериметрах, площадь круга АВСD больше площади фигуры А’В’С’D’. Поэтому площадь полукруга АВС больше площади фигуры А’В’С’ и полукруг АВС будет решением задачи Дидоны. [5, 25]
Похожие работы
... дроби, использовать знания по оперированию единицами величины, при решении задач. развивающие: развивать логическое мышление, память, внимание, умение оперировать обыкновенными дробями. воспитательные: воспитывать любовь к математике, дисциплинированность, самостоятельность, аккуратность. Ход урока. I. Организация класса - Здравствуйте, ребята! Приготовитесь к уроку. ...
... развитие логического мышления учащихся является одной из основных целей курса геометрии. При изучении геометрии развитие логического мышления учащихся осуществляется в процессе формирования понятий, доказательства теорем, решения задач. При изучении геометрических построений, прежде всего, приходится преодолевать трудности логического порядка. В условиях школы для преодоления этих трудностей ...
... – педагогический эксперимент. Эксперимент проходил в три этапа: 1 этап – констатирующий эксперимент. При его проведении были выявлены знания учащихся по теме «Использование и измерений и решение задач на местности при изучении некоторых тем школьного курса геометрии», при этом использовались различные формы и методы выявления знаний, такие как: анкетирование, беседы с учащимися и учителями, ...
... говоря о том, что некоторые виды технических средств обладают исключительно большими возможностями наглядного показа материала обучения. Олимпиада одна из основных форм организации внеклассной работы по математике. Термин «олимпиада» проявился давно, хотелось бы вспомнить об истории отечественной математической олимпиады. Сначала о ней говорили в единственном числе, поскольку она организовывалась ...
0 комментариев