Метод квадратно-корневого информационного фильтра(ККИФ)

1.4. Метод квадратно-корневого информационного фильтра(ККИФ)

Пусть динамическая система с дискретным временем дана в следующем виде:

(1.4.1)

где вектор состояния , матрица переходов из состояния в состояние , и - случайный процесс, представляющий собой белый гауссовый шум с нулевым средним и ковариацией , т.е. .

Пусть множество наблюдений задается уравнением:

(1.4.2)

где вектор наблюдения , матрица наблюдений , и - шум: .

Предположим, что мы имеем априорный информационный массив , где - невырожденная априорная ковариация и оценки относятся к и следующим образом:

; (1.4.3)

где есть экстраполяционная оценка вектора состояния, а - матрица ковариации ошибки экстраполяционной оценки.

Замечание: Для отфильтрованной оценки и ее матрицы ковариаций связь с информационным массивом аналогична.

Предполагая, что мы можем записать следующее равенство:

(1.4.4)

Тогда модель наблюдений и предсказания выглядит следующим образом:

(1.4.5)

(1.4.6)

где , , - ортогональные матрицы такие, что матрицы и являются верхнетреугольными, а - остаточная ошибка, соответствующая решению наименьших квадратов.

Заметим, что уравнения (1.4.5) и (1.4.6) эквивалентны уравнениям фильтра Калмана (доказательство данного факта см. в [2]). Но в отличие от традиционного фильтра Калмана, ККИФ позволяет избежать численной неустойчивости, являющейся результатом вычислительных погрешностей, поскольку вместо матриц ковариаций ошибки оценок на этапах экстраполяции и обработки измерений, по своей природе положительно определенных, ККИФ оперирует с их квадратными корнями. А это значит, что вычисления квадратного корня равносильно счету с двойной точностью для ковариации ошибок и кроме того устраняется опасность утраты матрицей ковариаций свойства положительно определенности. Недостатком данного метода является присутствие операций извлечения квадратного корня.

2. Оценивание параметров по методу максимального правдоподобия с использованием квадратно-корневых информационных фильтров

Вычисление оценки максимального правдоподобия может быть итеративно выполнено при помощи характеристического уравнения, которое включает в себя градиент обратного логарифма функции правдоподобия и информационную матрицу Фишера. Вычисления функции правдоподобия и информационной матрицы Фишера требуют применения фильтра Калмана (а также его производных для каждого параметра оценивания), который, как известно, не обладает достаточной устойчивостью. Поэтому для вычисления оценки максимального правдоподобия итеративным образом будем использовать ККИФ.