Функция правдоподобия и ее представление терминах ККИФ

2.2. Функция правдоподобия и ее представление терминах ККИФ

Для эффективного вычисления функции максимального правдоподобия при использовании ККИФ в фильтрации данных, необходимо выразить величины, входящие в выражение для , непосредственно через значения, которые вычисляются ККИФ-ом. Таким образом, две части (2.1.3):

(часть, зависящая от данных) (2.2.1)

(часть, зависящая от модели) (2.2.2)

выраженные через переменные, входящие в формулы ККИФ (2.1.10) и (2.1.13), приобретают следующий вид:

(2.2.3)

(2.2.4)

Доказательство (2.2.3) основано на следующем уравнении:

,

где - ортогональное преобразование такое, что матрица - верхнетреугольная. Находя нормы от обеих частей равенства, получим:

Уравнение (2.1.14) влечет за собой, следующее выражение:

Следовательно:

Далее, используя (2.1.8), чтобы переписать данное выражение в следующем виде:

После раскрытия скобок, опять используя уравнение (2.1.14), имеем:

Далее следует:

(2.2.5)

Наконец, используя (2.1.4), (2.1.5) и (2.1.15), получаем, что матрица, находящаяся внутри квадратных скобках выражения (2.2.5), является просто матрицей , что и доказывает (2.2.3).

Доказательство (2.2.4) основано на существовании ортогональных преобразований между определенными переменными ККИФ и остаточной ковариационной матрицей. Для упрощения записи положим, что

и

Используя обычную матричную алгебру и уравнения (2.1.4), (2.1.5), (2.1.6) и (2.1.15) можно показать, что выполняется следующее равенство:

Следовательно, если положить

(2.2.6)

получаем, что

- ортогональная матрица. Переписав (2.2.6) в виде

имеем

Из выражений для и получаем значения для детерминантов:

тогда имеем

Взяв логарифм от обеих частей выше записанного выражения и используя тот факт, что

получаем верное тождество для (2.2.4).

Простое преобразование формул, полученных выше, где шум наблюдения или измерения также является зависимым параметром, дает следующую формулу обратного логарифма функции правдоподобия в терминах ККИФ:

2.3. Градиент функции максимального правдоподобия

Для вычисления градиента , прежде всего, заметим, что градиент части, зависящей от модели (см. (2.2.2)), записывается следующим образом:

Так как матрицы и треугольные, а точнее верхнетреугольные, то только их диагональные элементы должны быть вычислены. Диагональные элементы первых трех матриц могут быть вычислены недорогим частичным обращением соответствующих величин ККИФ. Диагональные элементы последних двух матриц могут быть вычислены с использованием метода, описанного в разделе 2.4.

Для градиента части, зависящей от данных, функции максимального правдоподобия, мы используем соотношение для изменения уравнений измерения ККИФ:

,

где - ортогональная матрица. Находя нормы от обеих частей равенства, получаем что:

.

Из последнего равенства имеем, что:

где значения может быть получено дифференцированием ККИФ, как показано в разделе 2.4. Значения матрицы получаются путем дифференцирования соотношения:

Таким образом:

(2.3.1)

Между тем, матрица - верхнетреугольная и должна равняться , где - верхнетреугольная часть матрицы на левой стороне (2.3.1) и - диагональная часть. И тогда, находится с помощью метода обратной подстановки решения треугольных систем.

Подводя итог выше сказанному, имеем, что градиент обратного логарифма функции максимального правдоподобия приобретает вид:

,

где все входящие величины являются либо входными значениями КИИФ, либо легко находятся путем решения треугольных систем.

Для выражения информационной матрицы Фишера в терминах ККИФ, вспомним, что - ый элемент матрицы Фишера записывается как:

Т.к. - случайный процесс с нулевым средним, то

(2.3.2)

где - -ая величина во временной последовательности, представляющей . Переписывая (2.3.2), используя ККИФ-форму представления , имеем, что - ый элемент матрицы Фишера приобретает вид:

Эта формула может быть использована и при замене ожидаемых значений переменных и вычисленными.