Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Санкт-Петербургский Государственный Технологический Институт

(Технический Университет)

Кафедра Факультет VIII

Прикладной Курс II

Математики Группа 891

Дисциплина: Информатика – 2 Курсовая работа

Тема: «Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне»

Руководитель:

Поляков В.О.

Исполнитель:

Солнцев П.В.

Санкт-Петербург 2001 Введение

В решении любой прикладной задачи можно выделить три основных этапа:

-     построение математической модели исследуемого объекта

-     выбор способа и алгоритма решения полученной модели

-     численная реализация алгоритма

Цель данной работы – на примере исследования распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне освоить основные методы приближённых вычислений, приобрести практические навыки самостоятельных исследований, существенно опирающихся на использование методов прикладной математики.

Содержание

1.    Постановка задачи

1.1       Физическая модель

1.2        Математическая модель

2.    Обработка результатов эксперимента

2.1       Задача регрессии. Метод наименьших квадратов.

2.2       Гипотеза об адекватности модели задачи регрессии

3.    Нахождение коэффициента теплоотдачи a

3.1       Вычисление интеграла методом трапеций

3.2       Вычисление интеграла методом парабол (Симпсона)

4.    Вычисление времени Т₀ установления режима

4.1       Решение уравнения комбинированным методом

4.2       Решение уравнения методом итерраций

5.    Решение краевой задачи (метод малого параметра)

6.    Заключение

Литература

1.   Постановка задачи

1.1       Физическая модель

В ряде практических задач возникает необходимость исследования распределения температуры вдоль тонкого цилиндрического стержня, помещённого в высокотемпературный поток жидкости или газа. Это исследование может проводиться либо на основе обработки эксперимента (измерение температуры в различных точках стержня), либо путём анализа соответствующей математической модели.

В настоящей работе используются оба подхода.

Тонкий цилиндрический стержень помещён в тепловой поток с постоянной температурой q, на концах стержня поддерживается постоянная температура q₀.

1.2 Математическая модель

Совместим координатную ось абсцисс с продольной осью стержня с началом в середине стержня. Будем рассматривать задачу (распределения температуры по стержню) мосле момента установления режима Т₀.

Первая математическая модель использует экспериментальные данные, при этом измеряют температуру U_i стержня в нескольких точках стержня с координатами x_i. Результаты измерения U_i рассматривают как функцию регрессии и получают статистики. Учитывая чётность U(x) можно искать её в виде многочлена по чётным степеням x (ограничимся 4-ой степенью этого многочлена).
(1.1)

Задача сводится к отысканию оценок неизвестных параметров, т.е. коэффициентов a₀ , a₁ и a₂ , например, методом наименьших квадратов.

Вторая математическая модель, также использующая экспериментальные данные, состоит в применении интерполяционных формул и может употребляться, если погрешность измерений температуры Ui пренебрежимо мала, т.е. можно считать, что U(x_i)=U_i

Третья математическая модель основана на использовании закона теплофизики. Можно доказать, что искомая функция U(x) имеет вид:

(1.2)

где l - коэффициент теплопроводности, a - коэффициент теплоотдачи, D – диаметр стержня, q - температура потока, в который помещён стержень.

Ищем U(x) как решение краевой задачи для уравнения (1.2) с граничными условиями:

(1.3)

на отрезке [-L|/2;L/2], где L – длина стержня, q₀ - постоянная температура, поддерживаемая на концах стержня.

Коэффициент теплопроводности l зависит от температуры:

(1.4)

где l₀ - начальное значение коэффициента теплопроводности, s_l - вспомогательный коэффициент.

Коэффициент теплоотдачи a вычисляют по формуле:

(1.5)

т.е. как среднее значение функции

за некоторый отрезок времени от 0 до Т, здесь a₀ - значение a при t стремящемся к бесконечности, b – известный коэффициент.

Время Т₀, по истечении которого распределение температуры в стержне можно считать установившимся определяется по формуле:

(1.6)

где а – коэффициент температуропроводности, x - наименьший положительный корень уравнения:

(1.7)

Задание курсовой работы

Вариант № 136

Исходные данные: