Поверхности второго порядка

Содержание.

·    Понятие поверхности второго порядка.

1. Инварианты уравнения поверхности второго порядка.

·    Классификация поверхностей второго порядка.

1. Классификация центральных поверхностей.

Ä 1°. Эллипсоид.

Ä 2°. Однополостный гиперболоид.

Ä 3°. Двуполостный гиперболоид.
Ä 4°. Конус второго порядка.

2. Классификация нецентральных поверхностей.

Ä 1°. Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, эллиптический параболоид, гиперболиче­ский параболоид.

Ä 2°. Параболический цилиндр

• Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям.

1.   Эллипсоид.
2. Гиперболоиды.

Ä 1°. Однополостный гиперболоид.

Ä 2°. Двуполостный гиперболоид.

3. Параболоиды.

Ä 1°. Эллиптический параболоид.
Ä 2°. Гиперболический пара­болоид.

4. Конус и цилиндры второго порядка.

Ä 1°. Конус второго порядка.
Ä 2°. Эллиптический цилиндр.
Ä 3°. Гиперболический цилиндр.
Ä 4°. Параболический цилиндр.

Список использованной литературы.

 

1. «Аналитическая геометрия» В.А. Ильин, Э.Г. Позняк

§ 1. Понятие поверхности второго порядка.

Поверхность второго порядка - геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

a₁₁х² + а₂₂у² + a₃₃z²+ 2a₁₂xy + 2a₂₃уz + 2a₁₃xz + 2а₁₄ x + 2а₂₄у+2а₃₄z +а₄₄ = 0 (1)

в котором по крайней мере один из коэффициентов a₁₁ , а₂₂ , a₃₃ , a₁₂ , a_{23 ,} a₁₃отличен от нуля.

Уравнение (1) мы будем называть общим уравнением по­верхности второго порядка.

Очевидно, поверхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от данной де­картовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравне­ние (1) и уравнение, полученное после преобразования коор­динат, алгебраически эквивалентны.

1. Инварианты уравнения поверхности второго порядка.

Справедливо следующее утверждение.

являются инвариантами уравнения (1) поверхности второго-порядка относительно преобразований декартовой системы ко­ординат.

Доказательство этого утверждения приведено в выпуске «Линейная алгебра» настоящего курса.

§ 2. Классификация поверхностей второго порядка

1. Классификация центральных поверхностей. Пусть S — центральная поверхность второго порядка. Перенесем начало координат в центр этой поверхности, а затем произведем стан­дартное упрощение уравнения этой поверхности. В резуль­тате указанных операций уравнение поверхности примет вид

a₁₁х² + а₂₂у² + a₃₃z² + а₄₄  = 0 (2)

Так как инвариант I₃  для центральной поверхности отличен от ноля и его значение, вычисленное для уравнения (2) , равно a₁₁ • а₂₂ • a₃₃ , то коэффициенты a₁₁ ,а₂₂ , a₃₃ удовлетворяют условию :

Возможны следующие случаи :

Ä 1°. Коэффициенты a₁₁ ,а₂₂ , a₃₃ одного знака, а коэффициент а₄₄ отличен от нуля. В этом случае поверхность S называется эллипсоидом.

Если коэффициенты a₁₁ ,а₂₂ , a₃₃ , а₄₄ одного знака, то левая часть (2) ни при каких значениях х, у, z не обращается в нуль, т. е. уравнению поверхности S не удовлетворяют коорди­наты никакой точки. В этом случае поверхность S называется мнимым эллипсоидом.

Если знак коэффициентов a₁₁ ,а₂₂ , a₃₃ противоположен знаку коэффициента а₄₄, то поверхность S называется вещественным эллипсоидом. В дальнейшем термином «эллипсоид» мы будем называть лишь вещественный эллипсоид.

Обычно уравнение эллипсоида записывают в канонической форме. Очевидно, числа

 положительны. Обозначим эти числа соответственно а², b², с². После не­сложных преобразований уравнение эллипсоида (2) можно записать в следующей форме:

 

 

Уравнение (3) называется каноническим уравнением эллип­соида.

Если эллипсоид задан своим каноническим уравнением (3), то оси Ох, Оу и Оz. называются его главными осями.

Ä 2°. Из четырех коэффициентов a₁₁ ,а₂₂ , a₃₃ , а₄₄ два одного зна­ка, а два других—противоположного. В этом случае поверх­ность S называется однополостным гиперболоидом.

Обычно уравнение однополостного гиперболоида записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности, a₁₁ > 0, а₂₂ > 0, a₃₃ < 0, а₄₄ < 0. Тогда числа

положительны. Обозначим эти числа соответственно а², b², с². После несложных преобразований уравнение (2) однополостного гиперболоида можно записать в следующей форме:

Уравнение (4) называется каноническим уравнением однопо­лостного гиперболоида.

Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (4), то оси Ох, Оу и Oz называются его глав­ными осями.

Ä 3°. Знак одного из первых трех коэффициентов a₁₁ ,а₂₂ , a₃₃ , а₄₄ противоположен знаку остальных коэффициентов. В этом случае поверхность S называется двуполостным гиперболоидом.

Запишем уравнение двуполостного гиперболоида в канониче­ской форме. Пусть, ради определенности, a₁₁ < 0, а₂₂ < 0, a₃₃ > 0, а₄₄ < 0. Тогда :

Обозначим эти числа соответственно через a², b², с². Поcли несложных преобразова­ний уравнение (2) двуполостного гиперболоида можно запи­сать в следующей форме:

Уравнение (5) называется каноническим уравнением двупо­лостного гиперболоида.

Если двуполостный гиперболоид задан своим каноническим

уравнением, то оси Ох, Оу и Оz называются его главными осями.

Ä 4°. Коэффициент а₄₄ равен нулю. В этом случае поверхность S называется конусом второго порядка.

Если коэффициенты a₁₁ , а₂₂ , a₃₃ одного знака, то левая часть (2) обращается в нуль (а₄₄ = 0) лишь для х=у=z=0, т. е. уравнению поверхности S удовлетворяют координаты только едной точки. В этом случае поверхность S называется мнимым конусом второго порядка. Если коэффициенты a₁₁ , а₂₂ , a₃₃имеют разные знаки, то поверхность S является вещественным конусом второго порядка.

Обычно уравнение вещественного конуса второго порядка за­писывают в канонической форме. Пусть, ради определенности,

a₁₁ > o, а₂₂ > 0, a₃₃ < 0. Обозначим

соответственно через а², b², с². Тогда уравнение (2) можно записать в виде

 Уравнение (6) называется каноническим уравнением веще­ственного конуса второго порядка.