Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда равны нулю его вещественная и мнимая части, т.е. z = 0 <=> Rez = х=0, Im z =у=0

1.   Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда равны нулю его вещественная и мнимая части, т.е. z = 0 <=> Rez = х=0, Im z =у=0.

(<=> - знак эквивалентности, или можно заменить слова «тогда и только тогда», необходимо и достаточно).

2.   Если мнимая часть числа Im z =у=0, то z = х есть вещественное число, т.е. вещественные числа являются частью комплексных чисел.

Например, . z = 5+i0 = 5. Мнимая часть числа 5 равна 0.

3.         Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда соответственно равны их вещественные и мнимые части. Пусть. z = х+iy, z = х+iy, z = z если х = х и y= y.

4.         Множество комплексных чисел неупорядоченное множество, т.е. из двух комплексных чисел нельзя указать последующее и предыдущее. Между двумя комплексными числами нельзя поставить знаки неравенства >или<.

Например, z = 10+15i, z = 2-100i. Нельзя сказать которое из двух чисел больше.

Определение. Числа z = x + i y и  = x - i y называются комплексно сопряженными.

Например, z = -2 + 3i,  = -2 - 3i

z = 1 – i,  = 1 + i

Действия над комплексными числами.

Если два комплексных числа складывать, перемножать или делить друг на друга, то мы получим новое комплексное число.

Пример 1. Дано z = -1 + 2i, z = 3 - 5i. Найти z + z. Решение z + z= -1 + 2 i + 3 - 5i = 2 - 3i, т.е. складываются вещественные части и мнимые части.

Пример 2 Дано z = 2 + 3i, z = -1 + i. Найти z - z. Решение z - z= 2 + 3 i –(-1 + i) = 2 + 3i + 1 – i = 3 + 2i. т.е. складываются вещественные части и мнимые части.

Пример 3 Дано z = -1 + 2i, z = 3 - 5i. Найти z* z. Решение, z* z= (-1 + 2 i )*( 3 - 5i ) = -3 + 6i +5i – 10 i² = - 3 +10 +11 i = 7+ 11 i, надо помнить, что i² = - 1.

Пример 4 Дано z = 2 - i, ,  = 2 + i. Найти z * .

Решение z *  = (2 – i ) *(2+ i ) = 2² - i² = 4+1 = 5, где i² = -1. Произведение комплексно сопряженных чисел есть вещественное число равное сумме квадратов вещественной и мнимой частей.

Например, 1) z = 1 + i,  = 1 – i, z * =1² + 1²=2

2) z = 3 + 5i,  = 3 - 5i, , z * =9 + 25=34

Пример 5 Дано z = -1 + i, z = 2 - 3i. Найти z = (1 + i)/(2 - 3i). Решение z = (1 + i)/(2 - 3i) = (1+ i)(2 +3i) / (2 – 3i)(2+3i) = (2 +2i +3i +3i²)/ (4+9) = (2 – 3 + 5i)/13 =

 = -1/3 + (5/13)i. Чтобы выделить вещественную и мнимую часть числа z надо числитель и знаменатель дроби умножить на число сопряженное знаменателю.

Рассмотрим еще один подобный пример.

Произвести действие, выделить вещественную и мнимую части числа

(2 + i)/(1 + 2i).

Решение. (2 + i)/(1 + 2i) = (2+ i)(1 -2i) / (1 + 2i)(1 - 2i) = (2 +i - 4i - 2i²)/ (1 +4) = (2 + 2 - 3i)/5 = (4 - 3i)/5= 4/5 - (3/5)i.

Геометрическое изображение комплексного числа z = x + iy.

у

Выберем декартову прямоугольную систему координат. По оси абцисс отложим вещественную часть числа х, по оси ординат отложим мнимую часть числа у, получим на плоскости точку z с координатами ( х,у )

							Рис.1
							х

х

0

Рис.1

Ось ох называется вещественной осью

Ось оу называется мнимой осью.

Вся плоскость хоу называется плоскостью комплексного переменного.

y

Пример. Построить числа z =1+ i; z =2 i, z = -2+3 i; z = -1/2 i, z =1 - i, z =-1-2 i Рис2.

 Тема 4. Аналитическая геометрия. Координатный метод. Прямая линия на плоскости.

Аналитическая геометрия - область математики, занимающаяся изучением геометрических задач методом координат. Основная идея аналитической геометрии проста: положение точки на плоскости можно описать двумя числами и, таким образом, перевести любое утверждение о точках в утверждение о числах. Основоположниками метода координат принято считать Рене Декарта (1596-1650) и Пьера Ферма (1601-1665).

Декартова прямоугольная система координат на плоскости задается так: выбираются две взаимоперпендикулярные прямые с выбранным положительным направлением на каждой прямой - оси координат, точка пересечения прямых – начало координат. Выбирается на осях координат единица масштаба.

Рис 1

Ось ох – ось абцисс.

Ось оу – ось ординат

О – точка пересечения осей, начало координат.

Положение всякой точки плоскости определяется ее расстоянием от осей координат. Эти расстояния называются координатами точки. Например, точка М имеет координаты х и у – М(х,у). Рис 1.

х – абцисса точки М, у – ордината точки М.

Координатам приписывают знаки, зависящие от расположения точки в различных частях координатной системы.

Пример. Построить точки: А(3,2); В(-1,4); С(-2,0); Д(-1,-1/2); Е(1,-1).

 Рис 2.

0

Расстояние между двумя точками на плоскости М₁(х₁,у₁) и М₂(х₂,у₂) определяется по формуле М₁М₂ = (х₂-х₁)²+(у₂-у₁)².

Например, найти АВ, если А (1,2); В (-2,-2). Используя формулу, получим АВ=корень ====5.

Соотношение, характеризующее зависимость между координатами х и у точек кривой называется уравнением этой кривой. Например: у+2х-1=0 – уравнение прямой, х²+у²=4 – уравнение окружности.

Координаты любой точки, лежащей на кривой, удовлетворяют уравнению кривой, а координаты точек, на кривой не лежащей, уравнению не удовлетворяют. Например, проверим лежит ли точка А (1,2) и В (0,1) на прямой у+2х-1=0. Для этого подставим координаты каждой точки в уравнение прямой.

1)   А(1,2)-2+2-10, вывод: точка А не принадлежит прямой.

2)   В(0,1)-1-1=0, вывод: точка В лежит на прямой.

Любое уравнение первой степени относительно переменных х и у, называется линейным, оно есть уравнение прямой линии.

Ах+Ву+С=0, где А, В, С – вещественные числа, есть общее уравнение прямой.

Например, х+у-1=0, у=2х, х=3, у= -1. Эти уравнения – есть уравнения прямых.

Построим эти прямые на плоскости Рис 3. Положение любой прямой определяется двумя точками. Найдем точки пересечения прямой х+у-1=0 с осями координат.

Х	0	1
У	1	0

А(0,1); В(1,0). Через эти точки проводим прямую.

У=2х – прямая проходит через начало координат, т.к. координаты начала О(0,0) удовлетворяют уравнению прямой, подберем точку С(1,2) – лежащую на прямой, проведем прямую через точки О и С. Рис 4.

0

Прямая х=3 параллельна оси оу, прямая у=-1 параллельна оси ох. Рис 5.

					Рис.5

х

0

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

 

у=Кх+в, К=tg φ – коэффициент, φ – угол, который прямая составляет с осью абцисс, в - отрезок, который прямая отсекает от оси ординат. Рис 6.

Если две прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны. Например, у=2х+3, у=2х - 5 эти две прямые параллельны, т.к. К₁=2; К₂=2; К₁=К₂.

Если две прямые перпендикулярны, то К₂= -1/К₁. Например, у=2х+3, у= -(1/2)х - 1. Эти прямые перпендикулярны, т.к. К₁=2, К₂=-1/2; К₂= -1/К₁.

Пример. Указать какие из следующих пар прямых параллельны, а какие перпендикулярны.

1)3х - у+7=0 6х - 2у-1=0

2) 3х - у+5=0 х+3у - 1=0

3)3х - 4у+1=0 4х + 3у+7=0

Решение. 1) Найдем условные коэффициенты обеих прямых, для этого каждое уравнение разрешим относительно у.

у=3х+7, у=3х - 1/2. Эти прямые параллельны, т.к. К₁=К₂=3

2)   Разрешим каждое уравнение относительно у

У=3х+5, у= -1/3х+1/3, К₁=3, К₂= -1/3, т.к. К₂=-1/К₁, то мы можем сказать, что эти две прямые перпендикулярны.

3)   Разрешим каждое уравнение относительно у

у = 3/4х+1/4, у = - 4/3х +х/3; К₁ = 3/4, К₂ = 4/3

Эти прямые не являются параллельными, т.к. К₁≠К₂, эти прямые являются перпендикулярными, т.к. К₂= -1/К₁

 

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

 

у - у₀=К (х - х₀) – уравнение прямой, проходящей через данную точку М₀ (х₀,у₀), в данном направлении, т.е. К известен.

Задача. Через точку М₀(1,-2) провести прямую ℓ параллельную прямой у = 2х - 1

Решение. Уравнение прямой ℓ запишем в виде у-у₀=К(х-х₀). Х₀ и у₀ – нам даны, это х₀=1, у₀=-2, К – угловой коэффициент найдем из условия параллельности двух прямых К=2. у+2=2(х - 1) – искомое уравнение или 2х – у - 4=0

 Тема 5. Кривые второго порядка.

К кривым второго порядка относят кривые, записанные уравнением Ах² + Вху + Су²+ Ех + Ду + F = 0. В зависимости от значений коэффициентов (вещественные числа) это могут быть окружность, эллипс, гипербола, парабола. Эти кривые были известны с глубокой древности. Все эти кривые суть сечения прямого кругового конуса плоскостями (конические сечения).

Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух данных точек F₁ и F₂ (фокусов) есть величина постоянная 2а, большая F₁F₂. Каноническое уравнение (простейшее) уравнение эллипса: х²/а² + у²/в² =1

Эллипс, заданный таким уравнением симметричен относительно осей координат (рис 1)

М (х,у) – произвольная точка эллипса, (х,у) – текущие координаты этой точки. Все точки эллипса удовлетворяют условию: F₁M + F₂M=2a.

а,в называются полуосями эллипса, а – большая полуось, в – малая полуось. F₁ и F₂ – фокусы эллипса находятся на оси ох на расстоянии С= ² – в²) от центра О. Отношение с/а = Е называется эксцентриситетом эллипса.

Пример 1. 1)Написать уравнение эллипса, если а=4, в=3; 2)Найти координаты фокусов; 3)Найти Е.

Ответ: 1) х²/16 + у²/9=1; 2) С= = , F₁ (- , 0); F₂ ( , 0); 3)Е = с/а = /4 < 1.

Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний каждой из которых до двух данных точек F₁ и F₂ (фокусов) есть постоянная величина 2а (0<2a<F₁, F₂).

Каноническое (простейшее) уравнение гиперболы.

Х² /а² – у²/в² = 1

Гипербола, заданная уравнением симметрична относительно осей координат (Рис 2). Она пересекает ось ох в точках А₁( -а, 0) и А₂(+а, 0) – вершинах гиперболы и не пересекает ось оу. Параметр а называется вещественной полуосью, в – мнимой полуосью, С=(а² +в²) - расстояние от фокуса до центра симметрии О. Отношение с/а=Е называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые у= ±в/а х называются асимптотами гиперболы.

 Рис.2

F1

F2

0

М(х,у) – произвольные точки гиперболы, (х,у) – текущие координаты произвольной точки. Все точки гиперболы удовлетворяют условию

 │F₁M-F₂M│=2a.

Пример 2. Дана гипербола х²-4у²=16. 1)Написать каноническое уравнение гиперболы; 2)Найти вещественную и мнимую полуоси; 3) Найти асимптоты гиперболы; 4) Вычислить эксцентриситет Е.

Ответ: 1)х²/16 - у²/4 = 1; 2) а= = 4; в= = 2. 3) у = ±(в/а) х или у = ±(2/4)х или у = ±(1/2)х; 4) с= (а² + в²) = = = 2,

 Е=с/а=(2)/4 = ()/2 ;

Е=()/2 >1.

Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Каноническое уравнение параболы имеет два вида:

1)   у²= 2рх – парабола симметрична относительно ох (рис.3)

2)   х²= 2ру – парабола симметрична относительно оу (рис.4)

РИС.3

0

у

РИС.4

М (х,у) – произвольная точка парабола,

(х,у) – текущие координаты произвольной точки,

х = -р/2 – уравнение директрисы.

FM = d, где d – расстояние от точки М до директрисы.

В обоих случаях вершина параболы находится на оси симметрии в начале координат 0.

Парабола у² = 2рх имеет фокус F (р/2) и директрису х = - р/2

Парабола х = 2ру имеет фокус F (р/2) и директрису у = - р/2

Пример 3. Построить параболы заданные уравнениями:

1)   у² = 4х; 2) у² = -4х; 3) х² =4у; 4) х² =-4у; а так же их фокусы и директрисы и написать уравнения директрис.

y

Ответ:

2)

y

1)

							1

F (-1,0)

x

-1

F(1,0)

 0 0

	y² = - 4x, p=2, F(-1,0) х = -1 – уравнение директрисы

y² = 4x, p=2, F(1,0)

х = -1 – уравнение директрисы

4)

3)

			х

х

0

 0

					F(0,-1)
			Х2 = - 4у, р = - 2, F (0, -1) У = 1 – уравнение директрисы

 Х² = 4у, р = 2, F (0, 1)

 У = -1 – уравнение директрисы.

Окружность. Уравнение окружности с центром в точке А (а,в) и радиусом R; (рис.6)

 Пример 4. 1) Написать уравнение окружности с центром в точке А ( -1, 2), R = 2. 2) Построить ее. 3) Лежит ли точка О (0, 0) на окружности?

Ответ: 1) (х + 1)² + (у – 2)² = 4, если раскроем скобки, то уравнение примет вид:

х² + у² + 2х – 4у + 1 = 0

			Рис. 7

у

2)

										х
					0

 -1

2)   О (0,0) не лежит на окружности, т. к. координаты этой точки не удовлетворяют уравнению: 0+0+0 + 0+1 ≠ 0.

 Тема 6. Элементы линейной алгебры. Определители, их свойства. Способы вычисления определителей. Решения систем линейных алгебраичных уравнений по формулам Крамера.

Определителем второго порядка называется число, обозначаемое символом  и определяемое равенством  = а₁₁а₂₂-а₁₂а₂₁.

Например, Вычислить определитель  = 3*6 – (-2)*4 = 18 + 8 = =26

Числа, составляющие определитель называются его элементами. Определитель второго порядка имеет две строки и два столбца.

Определитель третьего порядка называется число, обозначаемое символом  и определяемое равенством  = а₁₁*а₂₂*а₃₃ + а₁₂*а₂₃*а₃₁ + а₁₃*а₃₂*а₂₁ – (а₁₃*а₂₂*а₃₁+а₃₂*а₂₃ *а₁₁+а₃₃*а₁₂*а₂₁).

Например,  = 2*(-2)*3+3*1*1+4*2*5 – (1*(-2)*4 + 2*1*2 + 3*3*5) = -12+3+40 – (-8+4+45) = 31-41= - 10

Перечислим свойства определителей:

1.   Величина определителя не изменится от замены строк столбцами.

2.   Величина определителя изменит знак на обратный при перестановке двух любых строк или столбцов.

3.   Определитель равен нулю, если две его строки или два его столбца одинаковы.

4.   Общий множитель строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

5.   Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольное число.

Например,  =  

Алгебраическое дополнение. Минор.

Минором М_ij элемента а_ij называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания i строки j столбца, т.е. той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент а_ij. Минор М_ij есть определитель порядка на единицу ниже исходного.

Например, в определителе,  Минором к элементу 4 является М₁₃= = = 10+2=12.

Алгебраическое дополнение А_ij есть минор М_ij , умноженный на (-1)^i+j, т.е.

А_ij = (-1)^i+j M_ij

В приведенном примере А₁₃= (-1)¹⁺³ М₁₃ = (-1)⁴ *  = 10+2=12.

В данном случае Минор и алгебраическое дополнение к элементу 4 совпали.

Продолжим изложение свойств определителей.