A x а х

0 a x а х

Рис.1 Рис.2

y

f(a)

f(a)

0 a x 0 a x

Рис.3 Рис.4

На приведенных рисунках предел существует в случаях 1) и 2), причем во 2) значение функции в точке а не совпадает с предельным, а в 1) совпадает f(a) = b . На рисунках 3) и 4) предел у функции в точке а не существует.

х→а

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если ее предел в этой точке совпадает со значением функции в той же точке, или lim f(x) = f(a).

 Все элементарные функции непрерывны в каждой точке, где они определены.

Основные теоремы о пределах функций.

1. Предел суммы двух функций равен сумме пределов.

х→а

х→а

х→а

lim (f(x) + φ(x)) = lim f(x) + lim φ(x)

2. Предел произведения двух функций равен произведению пределов.

х→а

х→а

х→а

lim [f(x) * φ(x)] = lim f(x) * lim φ(x)

3. Предел произведения числа на функцию равен произведению числа на предел функции.

х→а

х→а

lim С*f(x) = С *lim f(x)

Это свойство можно записать так: постоянный множитель выносится за знак предела.

4. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций. (Кроме случая, когда знаменатель стремиться к нулю).

х→а

х→а

х→а

х→а

lim f(x) / φ(x) = lim f(x) / lim φ(x), limφ(х)≠0.

Если знаменатель стремиться к нулю, а числитель - нет, то говорят, что отношение стремиться к бесконечности.

Бесконечность – это не число, ее можно добавить ко множеству вещественных чисел R в качестве нового элемента ∞. После этого числовая прямая превращается в так называемую расширенную прямую.

Раз мы добавили новый элемент ко множеству вещественных чисел, то запишем арифметические операции с этим элементом ∞.

Пусть а любое вещественное число, а Є R, тогда

а + ∞ = ∞	-∞ + а = -∞	∞ * (-а) = - ∞, а › 0
∞ - а = ∞	-∞ - а = - ∞	∞ * ∞ = ∞
а * ∞ = ∞, а ≠ 0	∞ + ∞ = ∞	а/∞ = 0, ∞/а = ∞
	- ∞ - ∞ = - ∞

Есть особые случаи, когда предел суммы, произведения или частного нельзя найти, зная только пределы слагаемых, сомножителей или делимого и делителя. Такие случаи называются неопределенностями.

Выделяют неопределенности двух типов:

Арифметические неопределенности (0/0); (00/00); (00 – 00); (0 * 00).

Степенно-показательные неопределенности (1⁰⁰); (00⁰); 0⁰.

Эти записи не являются операциями над числами и 00, они представляют собой только деловые обозначения.

В случае неопределенности предел может быть равен нулю, конечному числу, бесконечности или не существовать. Для нахождения предела (раскрытие неопределенности) надо исследовать каждый случай отдельно.

х→ -2

Пример 1. Найти lim [(х² – 4) / (x²+x – 2)].

Решение:

х→ -2

1) Подставим точку х = - 2 в нашу функцию, получим lim [(х² – 4) / (x²+x – 2)] =

 = (4 – 4) / (4 – 2 – 2) = (0/0).

х→ -2

х→ -2

2) Раскроем эту неопределенность, разложив числитель и знаменатель на простые множители, найдя корни числителя и знаменателя, тогда lim [(х² – 4) / (x²+x – 2)] lim [(х – 2) * (x+2)] / [(x-1)*(x + 2)] = (-2 – 2)/(-2-1) = -4/ -3= 4/3/

 

х→ 00

Пример 2. lim [(х² – 4) / (x²+x – 2)]

Решение:

х→ 00

х→ 00

х→ 00

 lim [(х² – 4) / (x²+x – 2)] = (00/00). Чтобы раскрыть эту неопределенность, вынесем за скобки из числителя и из знаменателя х в старшей степени, т.е. х², получим: lim [(х² – 4) / (x²+x – 2)] = lim [(х² *

х→ 00

х→ 00

 (1 – 4/х²) / (x²(1+1/x – 2/x²)] = 1/1=1, т.к. lim 4/х² = 4 / 00 = 0, . lim 1/х =

х→ 00

1/00=0 и . lim 2/х² = 2/00

Для раскрытия неопределенностей используются не только различные приемы преобразования функций, как мы видели в примерах 1 и 2, но и так называемые замечательные пределы.

х→ 0

Первый замечательный предел .lim sinx/х = 1, он раскрывает неопределенность (0/0).

х→ 00

Второй замечательный предел. . lim (1+1/х)^х = ℮, где ℮=2, 7, …

иррациональное «непперово» число. Это число часто берут за основание логарифма, тогда такой логарифм обозначается так: log_℮x = lnx и называется натуральным логарифмом.

х→ 0

Пример. 3 Найти lim (sin3x)/х = (0/0).

х→ 0

х→ 0

Решение: lim (3sin3x) / (3х) = 3 lim (sin3x) / (3х) = 3*1 = 3

х→ 0

Пример. 4 Найти lim (sin5x)/(sin2х) = (0/0).

х→ 0

х→ 0

Решение: lim (sin5x / sin2х) = lim [((sin5x / 5х)*5x) / ((sin2x / 2x) * 2x)]

х→ 0

х→ 0

= 5/2 * [(lim (sin5x / 5х)) / lim (sin2x / 2х)] = 5/2

х→ 00

Пример. 5 Найти lim (1+(1/2x))^x = 1⁰⁰.

х→ 0

Решение: lim (1+(1/2x))^{2x * (1/2)} = ℮^1/2=℮

х→ 00

Пример. 6 Найти lim (1+(1/(x-1))^x = 1⁰⁰.

х→ 00

х→ 00

Решение: lim [1+(1/(x-1))]^{x -1+1} = lim [(1+(1/(x-1)))^{x -1} * (1+(1/(x-1)))¹] = ℮*1 = ℮

 Тема 11. Производная и дифференциал.

Приращение аргумента, приращение функции.

0

Пусть функция у= f(х) определена в точке х₀ и некоторой ее окрестности, придадим точке х₀ приращение Δх и получим точку х₀+Δх, значение функции в этой точке – f(х₀+Δх). Разность значений f (х₀+Δх) – f(х₀) называется приращением функции, обозначается приращение функции Δf или Δу, т.е. Δf=f(х₀+Δх) – f(х₀). Рис. 1

у Рис.1

			У = f(х)

Δу

			х

х₀ х₀ + Δх

Производная функция у = f(х), в точке х₀ определяется как предел отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх, при стремлении Δх к нулю. f `(x₀) = lim (Δf/Δx). Этот предел будет иметь конечное значение, если только и числитель стремиться к нулю (приращение функции Δf→0).

Производная имеет смысл скорости изменения какого – либо показателя. Дифференциал определяется как главная линейная часть приращения функции. Дифференциал показывает, как изменялась бы величина, если бы скорость ее изменения была бы постоянной. Дифференциал для функции у=f(х) обозначается через dy или df. Вычисляется он по формуле dy=f `(x)dx, где f ` (x) – производная функция f(x), а dx – число равное приращению независимой переменной (аргумента) ∆х.

Для вычисления производной выведены правила нахождения производной и таблицы производных элементарных функций. Функция, имеющая производную в точке х, называется дифференцируемой в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке интервала, то она называется дифференцируемой в интервале.

Правила дифференцирования функций.

Пусть U(х) и V(х) дифференцируемы в точке х.

1.   (U(x) + V(x))` = U`(x) + V`(x)

2.   (U(x) * V(x))` = U`(x) * V`(x) + V`(x) * U`(x)

3.   (C*U(x))` = CU`(x), C - const

4.   (U(x) / V(x))` = [U`(x) * V(x) - V`(x) * U(x)]/ V²(x)

Таблица производных.

1.   C` = 0, C – const.

2.   x` = 1

3.   (x^α)` = α x^{α – 1}, α Є R

4.   (a^x)` = a^x lnx, a>0 , a≠1

5.   (ln x)` = 1/x

6.   (sin x)` = cos x

7.   (cos x)` = - sin x

8.   (tg x)` = 1/(cos x)²

9.   (ctg x)` = - 1/(sin x)²

10.                                                                                (arcsin x)` = 1/²)

11.                                                                                (arccos x)` = - 1/²)

12.                                                                                (arctg x)` = 1/(1 + x²)

13.                                                                                (arcctg x)` = - [1/(1 + x²)]

правила для нахождения дифференциала можно написать самим, умножив соответствующее правило взятия производной на dx.

Например: d sinx = (sinx)`dx = cosx dx.

Пример 1. Найти приращение функции f(x) = x², если х = 1, ∆х = 0,1

Решение: f(х) = х², f(х+∆х) = (х+∆х)²

Найдем приращение функции ∆f = f(x+∆x) – f(x) = (x+∆x)² – x² = x²+2x*∆x+∆x² – x² = 2x*∆x + ∆x²/

Подставим значения х=1 и ∆х= 0,1, получим ∆f = 2*1*0,1 + (0,1)² = 0,2+0,01 = 0,21

Пример 2. Найти производную функции f(x) = x², в произвольной точке х по определению производной, т.е. не используя таблицу производных.

∆x→0

Решение: (х²)` = lim ∆f / ∆х

Из первого примера ∆f = 2x*∆x+∆x², подставим, получим

∆x→0

∆x→0

∆x→0

(x²)` = lim ∆f / ∆х = lim (2x*∆x+∆x²)/∆x = lim [∆x (2х + ∆х)]/ ∆x = 2x

Пример 3. у = 1-х, Найти ∆у при х=2, ∆ = 0,1

Решение: у(х) = 1-х, у(х+∆х) = 1 – (х+∆х),

∆у = у (х+∆х) – у(х) = 1-х - ∆х – (1 – х) = 1-х - ∆х – 1 + х = - ∆х

при х = 2, ∆х = 0,1 ∆у = -∆х = -0,1.

Пример 4. Найти производную от функции у=3х⁴ – 2х² + 1.

Решение у` = 3*4х³ – 2*2х + 0 = 12х³ – 4х.

Пример 5. Найти производную от функции у = x² *℮^х.

Решение: у` = (x<sup>2</sup>)` *℮^х + x² *(℮^х)` = 2x ℮^х + x² *℮^хln℮

ln ℮ = log_℮℮ = 1. y` = 2x℮^x + x² * ℮^x

Пример 6. У = х/(х²+1). Найти у`.

Решение у` = [1*(х²+1) – х*2х] / (х²+1)² = [х²+1 – 2х²] / (x² +1)² = (1-x²) / (x²+1)²

Производные от сложных функций.

Формула для нахождения производной от сложной функции такова:

[f (φ(х))]` = f<sub>φ</sub>`(φ(x)) * φ`(x)

Например: у = (1-х²)³; у`= 3(1 –х<sup>2</sup>)<sup>2</sup> * (-2х) или у = sin<sup>2</sup>х; у` = 2sinx * cosx.

Пример 7 . Найти dy, если у = sin 3х

Решение dy = у` * dx = (sin3x)` dx = (cos3x) * 3dx = 3 cos3x dx.

Пример 8. Найти dy, если у = 2^{х^2}/

Решение: dy = y` * dx = (2<sup>x^2</sup>)` * dx = 2^{x^2} ln2 * 2xdx

Производные высших порядков.

Пусть мы нашли от функции у = f(х) ее производную у` = f `(х). Производная от этой производной и называется производной второго порядка от функции f(х) и обозначается у`` или f `` (х) или (d²y) / (dx²). Аналогично определяются и обозначаются: производная третьего порядка у``` = f ```(x) = (d³y) / (dx³).

производная четвертого порядка у^IV = f ^IV(x) = (d⁴y) / (dx⁴).

производная n-oго порядка у⁽ⁿ⁾ = f ⁽ⁿ⁾(x) = (d ⁿ y) / (dxⁿ).

Пример: у = 5х⁴ – 3х³ + 2х – 2. Найти у``.

Решение. Находим в начале первую производную: у` = 20х³ – 9х² +2, потом вторую от первой производной: у`` = 60х² – 18х.

Пример. y=хsinx. Найти у```.

Решение. y` = sinx + xcosx

y`` = cosx + cosx – x sinx = 2cosx – x sinx

y``` = -2sinx – sinx – x cosx = -3sinx – x cosx.

 Тема 12. Понятие первообразной. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале Х, если в каждой точке этого интервала выполняется условие

F ` (x)=f(x).

Например, для функции f(x) = 2х первообразной является F(х) = х² для любых х Є (-∞, ∞).

Действительно, F`(x) = 2x = f(x).

F₁(x) = x² + 2 так же является первообразной для f(x) = 2x, F₂(x) = x² – 100 первообразная той же функции f(x) = 2x.

Теорема. Если F₁(x) и F₂(x) первообразные для функции f(x) на некотором интервале Х, то найдется такое число С, что справедливо равенство:

F₂(x) = F₁(x) + C,

Или можно сказать так, две первообразные для одной и той же функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

Определение. Совокупность всех первообразных для функции f(x) на интервале Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается f(x)dx, где - знак интеграла, f(x) – подинтегральная функция, f(x)dx – подинтегральное выражение. Таким образом

f(x)dx = F(x) + C,

F(x) – некоторая первообразная для f(x), С – произвольная постоянная. Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Основные свойства неопределенного интеграла.

1.    ((f(x)dx)` = f(x). Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

2.    Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению. d(f(x)dx) = f(x)dx.

3.    Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого.

d(F(x)) = F(x) + C.

4.    Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

, где к - число

5.    Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций

(f(x) +φ(x))dx = f(x)dx + φ(x)dx.

Для вычисления неопределенных интегралов от функций используют таблицу неопределенных интегралов, которая приводиться ниже.

Таблица неопределенных интегралов.

1.   х^α dx = [x^α+1 / (α +1)] +C, α ≠ -1, α Є R

2.   dx/x = ln│x│+C

3.   a^x = (a^x/ln a)+C, e^xdx = e^x+C

4.   sinx dx = -cosx + C

5.   cosx dx = sinx + C

6.   dx/(cosx)² = tgx + C

7.   dx/(sinx)² = -ctgx + C

8.   dx /²-x²) = (arcsin x/a) + C

9.   dx / ² – x²) = (-arccos x/a) +C

10.                                   dx / a² +x² = 1/a arctg x/a +C

11.                                   dx / a² +x² = - 1/a arcctg x/a +C

12.                                   dx / a² -x² = 1/2a ln │x+a/x-a│ +C

13.                                   dx / a² +x²) = ln │x+ ²+x²)│ +C.

Пример 1. Вычислить (2х² -3 -1)dx.

Решение. Воспользуемся свойствами 4 и 5 неопределенных интегралов и первой табличной формулой. (2х² -3 -1)dx = 2х² dx - 3х^1/2 dx - dx=

= 2(x²/2) – 3[(х^3/2 *2)/3] – x + C = x² - 2³ – x +C.

Пример 2. (2/ -1/х + 4sinx)dx = 2х ^–1/2dx – ln │х│ - 4cosx + C =

= 2[(x^1/2 *2)/1] – ln │x│ - 4 cosx +C = 4 -ln│x│- 4cosx + C.

Для вычисления неопределенных интегралов применяют следующие методы: метод непосредственного интегрирования, метод подстановки(метод замены переменной), метод интегрирования по частям.

Существуют элементарные функции первообразные которых элементарными функциями не являются. По этой причине соответствующие неопределенные интегралы называются «неберущимися» в элементарных функциях, а сами функции не интегрируемыми в элементарных функциях.

Например, e ^{–x^2} dx, sinх² dx, cosх² dx, sinx/x dx, cosx/x dx, dx/lnx – «неберущиеся» интегралы , т.е. не существует такой элементарной функции, что F `(x) = e <sup>–x^2</sup>, F ` (x) = sinx² и т.д.

 Тема 13. Определенный интеграл, его свойства.

Формула Ньютона - Лейбница.

Понятие интегральной суммы.

Пусть на отрезке [a, в] задана функция у = f(x). Разобьем отрезок на п элементарных отрезков точками деления а = х₀, х₁, х₂, …, х_п = в. На каждом элементарном отрезке [x_i-1, x_i] выберем произвольную точку С_i и положим

n

∆х_i = x_i – x_i-1, где i = 1,2,…,п, в каждой точке С_i найдем значение функции f(C_i), составим произведения f(C₁)∆x₁, f(C₂)∆x₂, …, f(C_i)∆x_i, …, f(C_n)∆x_n, рассмотрим сумму этих произведений:

I=1

f(C₁)∆x₁ + f(C₂)∆x₂ + … + f(C_i)∆x_i + … + f(C_n)∆x_n = Σ f(C_i)∆x_i.

Эту сумму будем называть интегральной суммой для функции у=f(x) на отрезке [а, в]. Интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка [a, в] на п частей так и от выбора точек С₁, С₂, …, С_п на каждом элементарном отрезке разбиения.

Геометрический смысл интегральной суммы.

Пусть у = f(x) неотрицательна на отрезке [а, в]. Рис.1

y = f(x)

у

S₁ S₂ S₃

0 а=х₀ в₁ х₁ с₂  х₂ с₃ х₃ =в х

Рис.1

Пусть п=3, тогда а = х₀, х₁, х₂, х₃=в.

С₁ ,С₂ ,С₃ точки, выбранные произвольно на каждом элементарном отрезке.

S₁ = f₁(C₁) ∆x₁ – площадь прямоугольника, построенного на первом отрезке разбиения, ∆х₁ = х₁-х₀,

S₂ = f₂(C₂) ∆x₂ – площадь прямоугольника, построенного на втором отрезке разбиения. ∆х₂ = х₂-х₁,

3

S₃ = f₃(C₃) ∆x₃ – площадь прямоугольника, построенного на третьем отрезке разбиения. ∆х₃ = х₃-х₂,

I=1

S = S₁ + S₂ +S₃ = f₁ (C₁)∆x₁ + f₂ (C₂)∆x₂ + f₃ (C₃)∆x₃ = Σ f(C_i)∆x_i.

Это площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников.

Понятие определенного интеграла.

n

Обозначим длину наибольшего из отрезков разбиения через max ∆х_i, где i=1,2,…п

i=1

Определение. Пусть предел интегральной суммы Σ f(C_i)∆x_i при стремлении max ∆х_i к нулю существует, конечен и не зависит от способа разбиения отрезка

i=1

n

[a, в] на части и от выбора точек С₁, С₂, …, С_п. Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции у = f(х) на [а, в] и обозначается , т.е  = lim Σ f(С_i)∆x_i при

max ∆x_i →0

Число а называется нижним пределом, b – верхним пределом, f(x) – подинтегральной функцией, f(x)dx – подинтегральным выражением.

Некоторые свойства определенного интеграла.

1⁰ . Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.

 =  =  и т.д.

2⁰.  есть число.

3⁰.  = - , а<b

4⁰. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

 = m , где m – const.

5⁰. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов.

6⁰. Если отрезок интегрирования разбит на части (a < c < b), то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов на каждой из частей.

x

b

c

a

 = ,

Существует еще ряд важных свойств определенного интеграла, которые подводят нас к формуле для вычисления определенного интеграла. Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница для f(x) непрерывной на [а; b].

 = F(b) – F(a), где F(x) некоторая первообразная для функции f(x).

Например,  - вычислить.

1)  

1

Находим первообразную для функции х², т.е. неопределенный интеграл от х², произвольную постоянную С приравняем к нулю.

0

 = x³/3 │ = 1/3 – 0/3 = 1/3

2)   Подставим в первообразную х³/3 вначале значение верхнего предела, равного 1, затем значение нижнего предела, равного 0 вместо х.

	π/2

2

π/6

Пример 1. Вычислить │= sin π/2 – sin π/6 = 1 – ½ = 1/2

-1

Пример 2. Вычислить │ = 2² – 2⁴/4 – [ (-1)² – ((-1)⁴/4)] =

= 4 – 4 –(1- (1/4)) = -3/4.

 Тема 14. Несобственные интегралы.

 

Мы ввели понятие определенного интеграла от функции y = f(x) на отрезке [а; b], когда функция y = f(x) была интегрируема (и, следовательно, ограничена) на конечном отрезке [а; b]. Если отрезок интегрирования бесконечен, или функция не ограничена на отрезке интегрирования, то мы встречаемся с понятием несобственного интеграла.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

 

Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом . Такой интеграл есть некоторая функция от переменного верхнего предела, т.е.

= Ф(х), х ≥ а.

Определение.  – называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [а;¥), вводится он как предел функции Ф(t) при t ®¥, т.е.

t→∞

.

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, если предел бесконечен или не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.

∞

Пример 1. Вычислить

x→∞

2

Решение  = lnx │ = lim lnx – ln2 = ∞ - ln2 = ∞. Интеграл расходится.

∞

Пример 2. Вычислить

x→∞

∞

1

1

 Решение  =  = x ^–2/-2 │ = -1/(2x ²) │= -1/2 (lim 1/x² – 1) = -1/2 (0-1) = 1/2

Интеграл сходится к ½.

По аналогии определяется несобственный интеграл на интервале (-¥, b].

b→ −∞

Определение сходимости  аналогично предыдущему.

Вводится понятие несобственного интеграла на интервале (-¥; ¥).

, а – некоторое число.

Интеграл  сходится, если оба интеграла  и  сходящиеся, если же один из них расходится, то  - расходится.

Пример 3. Вычислить  .

0

Решение. .

x→ -∞

-∞

Рассмотрим  = e^x │ = e⁰ – lim e^x = e⁰ – 1/e^∞ = 1-0 = 1.

∞

 Интеграл сходящийся к 1.

x→ -∞

0

Рассмотрим  = e^x │ =lim e^x - e ⁰ = e^∞ – 1 = ∞.

Этот интеграл расходится, значит  - расходящийся несобственный интеграл.

В курсе теории вероятностей встречается несобственный интеграл . этот интеграл называется интегралом Эйлера-Пуассона.

Доказано, что 2p).

Несобственные интегралы от разрывных функций.

х→в-0

Если y = f(x) непрерывна на [а; b), но lim f(x) = ¥, то вводится понятие несобственного интеграла от разрывной функции.

ε→0

ε→0

Определение. Если существует и конечен предел lim , где e > 0, то он называется несобственным интегралом от функции y = f(x) на интервале [а; b) и обозначается , т.е.  = lim

В этом случае несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла

х→а+0

ε→0

= lim , если lim f(x) = ¥

δ→0

Пример 4. Вычислить  = 2х^1/2 │ = 2( -lim) =2.

Интеграл сходится к 2.

Тесты к теме 1.

1.   На сколько периодов условно можно разделить развитие математики (по Колмогорову)?

1: 2

2: 4

3: 1

4: 5

2.   К какому времени относится начало периода элементарной математики?

1-: XV в

2: I век н.э.

3: VI-V век до н.э.

4: XII в.

3.   Что является предметом изучения науки “Математический анализ”?

1: функция

2: число

3: совокупность чисел

4: геометрические образы (точка, прямая, плоскость).

4.   Перечислите основные черты математического мышления.

1: логические рассуждения, математическая интуиция;

2: доказательство;

3: математическая интуиция;

4: умение правильно считать.

5.   Какие два вида умозаключений преобладают в математике?

1: моделирование, дедукция.

2: индукция, интуиция;

3: абстрагирование, интуиция;

4: индукция, дедукция;

6.   Является ли математика искусством вычислять или наукой?

1: наука,

2: искусство вычислять.

Тесты к тема 2

1.Аксиома – составная часть дедуктивной системы. Это …?

1: Определение основных понятий данной науки.

2: Утверждение, требующее доказательства.

3: Утверждение, принимаемое без доказательств.

4: Некоторое логическое рассуждение.

2.Внутри дедуктивной системы не могут быть решены два вопроса. Какие из представленных?

1: Нужны ли доказательства аксиом? и Являются ли теоремы составной частью дедуктивного метода?

2: О смысле основных понятий. и Об истинности аксиом.

3:Можно ли определить в данной науке основные понятия? и Являюся ли доказательства составной частью дедуктивного метода?

3.Что представляет собой книга «Начала» Евклида?

1: Философское учение греческого философа и ученого Евклида.

2: Аксиоматическое построение геометрии.

3: Мифы Древней Греции.

4: Учение о параллельных прямых.

4Кто из математиков почти одновременно с Н.И. Лобачевским подошел к созданию неевклидовой геометрии?

1: Гаусс, Бойяй

2: Лагранж, Ферма

3: Пуассон, Эйлер

4: Коши, Буняковский

5.В каком году был построен Императорский Казанский Университет?

1; 1804

2: 1800

3: 1850

4: 1900.

Тесты к теме 3.

1 Что представляет собой мнимая единица ?

1: корень кв. из -1,

2: –1

3: ( i )^2

4: (-1)^2

2. Найти корни квадратного уравнения х*х-х+1=0

1: Х1=1/2; Х2=3/2

2: Корней нет

3: Х1,2=1/2+-3/2i

4: Х1=2, Х2=-1

3. Произвести действия: Если Z1=1-2i, Z2= -2+3i, Найти Z1+Z2.

1: Z=1-i

2: Z= -1+i

3: Z=2+3i

4: Z=1+2i

4. Произвести действия : Если Z1=1-2i, Z2= -2+3i, Найти Z1*Z2.

1: Z= 4

2: Z=-8+3i

3: Z= -2+6i

4: Z=4-i

5. Найти Z”, если Z=2-i.

1: Z= -2-i

2: Z= -2+i

3: Z= 2+i

4: Z= 2

6. Представить число Z = -3 в виде комплексного числа. Указать его вещественную и мнимую части.

1: Z=3-3i, Re Z=3, Im Z= -3

2: Z=-3+iо, Re Z=-3, Im Z=0

3: Z=3i, Re Z=-0, Im Z=3

4: Z=3*i*i Re Z=0, Im Z=3

7.   Найти корни квадратного уравнения х^2+4=0

1: Х=2

2: Корней нет

3: Х1,2=+-2i

4: Х= -2

8.   Дано комплексное число Z= -3+2i. Найти координаты точки на плоскости хоу ему соответсвующие.

1; (-3;2)

2: (3,2)

3: (3, -2)

4: (-3,0)

9.   Выделить вещественную и мнимую части числа Z=1-3i/5-i.

1: Z=1/5-3i

2: Z=4/13 – 7/13i

3: Z=1/26-3i

4: Z=1-i

Тесты к теме 4.

 

1.Даны точки М1(3,1); М2(2,3); М3(6,0); М4(-3,-1).

Определить какая из точек лежит на прямой 2х-3у-3=0

1: М1(3,1);

2: М2(2,3);

3: М3(6,0);

4: М4(-3,-1).

2.Дана прямая х-3у+2=0, точка М(1,у) лежит на этой прямой. Найти ордин ату этой точки.

1: у=-1,

2: у=0,

3: у=1,

4: у=5.

3.Дана прямая х-3у+2=0, точка Р(х,2) лежит на этой прямой. Найти абциссу этой точки.

1: х=0,

2: х=4,

3: х=1,

4: х= -4.

4.Даны точки А(-3,2) и В(1,6). Найти расстояние между ними АВ.

1: АВ=2.

2: АВ=4,

3: АВ=8,

4: АВ=4 * корень кв. из 2,

5.Даны четыре пары, указать какие из них являются параллельными прямыми.

1)   2х+3у-1=0 4х+6у+1=0

2)   х+у+5=0 х-у-3=0

3)   х+5=0 2х+5у=0

4)   х-2у+3=0 2х-у-1=0

1: 2х+3у-1=0 4х+6у+1=0
2: х+у+5=0 х-у-3=0
3: х+5=0 2х+5у=0
4: х-2у+3=0 2х-у-1=0

6.Даны уравнения линий 1) у^2=х, 2)у=х^2+1, 3)х-у=0, 4)х^2 +у^2=1

Найти среди них уравнение прямой.

1: у^2=х,-

2: х - у=0,

3: у=х^2+1

4: х^2+у^2=1

7.Дано уравнение прямой у-2х+1=0. Записать это уравнение, как уравнение прямой с угловым коэффициентом. Найти отрезок в, отсекаемый прямой от оси ординат.

1: в= -1

2: в=1

3: в=1/2

4: в=0

8.Дана точка М(-1,2). Найти уравнение прямой проходящей через эту точку параллельно прямой 2х - у+3=0

1: х=2у

2: 2х - у=0;

3: х+у - 2=0;

4: 2х - у+4=0;

9.Среди заданных четырех прямых определить две перпендикулярные прямые.

1) х+у-5=0, 2)у=+х+2, 3)3х-3у+1=0, 4)2х=у

1: х+у-5=0, у=+х+2

2: х+у-5=0, 2х=у

3: у=х+2, у=2х

4: у=х+2, 3х-3у+1=0.

10.Дана прямая х+у-5=0. Найти точку А пересечения этой прямой с осью ох.

1: А(1,1);

2: А(-5,0);

3: А(5,0);

4: А(0,5)

Тесты к теме 5.

1.Написать уравнение окружности с центром в начале координат, радиусом равным 2.

1: х^2 + у^2 = 4

2: х^2 + у^2 = 2

3: (х – 2)^2 + (у – 2)^2 = 4

4: х^2 = 2

2.Х^2 + у^2 + 2х = 0. Дано уравнение окружности. Указать точку, лежащую на этой окружности: М1(0, 0), М2(1, 2), М3( - 1, 3); М4(0, 2).

1: М2(1, 2),

2: М1(0, 0),

3: М3( - 1, 3),

4: М4(0, 2),

3.Из четырех уравнений найти уравнение эллипса.

1) х/25 + у/16 = 1, 2) х^2/9 + у^2/4 = 1, 3) у^2 = 1 – х, 4) х^2 + у^2 = 9

1: нет уравнения эллипса

2: х/25 + у/16 = 1

3: х^2/9 + у^2/4 = 1

4: х^2 + у^2 = 9

4.Выделить уравнение гиперболы из четырех уравнений:

1) х/16 - у/9 = 1, 2) х^2 – у^2 = 1, 3) х^2 + у^2 = 1, 4) х^2 + 2у^2 = 1

1: х^2 + 2у^2 = 1

2: х/16 - у/9 = 1,

3: х^2 + у^2 = 1,

4: х^2 – у^2 = 1,

5.Написать уравнение эллипса, зная, что малая полуось в=3, расстояние между фокусами F1 F2= 8.

1: x^2/64+y^2/9=1

2: x^2/16+y^2/9=1

3: x^2/8+y^2/9=1

4: x^2/25+y^2/9=1

6.Написать уравнение эллипса, если большая полуось а=в, эксцентриситет Е=0,5.

1: x^2/6+y^2/2=1

2: x^2/6+y^2/9=1

3: x^2/36+y^2/27=1

4: x^2+y^2=1

7.х^2/18 – y^2/4,5=1 Дано уравнение гиперболы. Написать уравнение асимптот.

1: y=+-х

2: у=+-1/2х;

3: y=+-1/18 х

4: y=1/3х

8.На параболе у^2=6х найти точку с абциссой равной 6

1: М(0,6)

2: М(6,6)

3: М(6,0)

4: М1(6,6) и М2(6,-6)

9. Дана парабола у^2=6х. Найти координаты фокуса F.

1: F(3/2;0)

2: F(3,0)

3: F(0,6)

4: F (0,3)

10.Написать уравнение гиперболы, если а=9, в=4.

1: x/81 - y/4=1

2: x^2/9+y^2/4=1

3: x^2/81 - y^2/16=1

4: x^2 - y^2=9

Тесты к теме 6.

1. Вычислить определитель !2 3!

!4 5!

1: -2,

2: 22,

3: 2,

4: 7,

2. Вычислить определитель !2 3!

!4 5!

1:-5,

2: 10,

3: 1,

4: 0,

3. Справедливо ли равенство !2 8 10! !1 4 5!

!1 3 -1! =2 !1 3 –1! ?

!2 0 !1 !2 0 1!

1: Нет,

2: Да,

4. Дан определитель !1 5 3! Найти минор М21 к элементу а21 = 6.

!6 1 0!

!3 0 –1!.

1: М21= 0,

2: М21= -2,

3: М21= 1,

4: М21= 4,

5.Дан определитель !1 5 3! Найти алгеброическое дополнение А21 к

 !6 1 0! элементу а21 = 6.

!3 0 –1!.

1: А21= 2,

2: А21= -2,

3: А21= 1,

4: А21= 4,

6. Если элементы второй строки определителя умножить на соответствующие алгебраические дополнения и произведения сложить, то получим:

1: отрицательное число,

2: ноль,

3: любое число,

4: величину определителя,

7. Дана система уравнений х+у=3

2х-3у=1.

Имеет ли эта система единственное решение?

1: Да,

2: Нет.

8. Дана система уравнений х - у=1

4х-4у=4

1: система не имеет решения,

2: система имеет единственное решение,

3: система неопределенная,

9. Дана система 2х-3у+5z=1

х+у-z =2

 3х-у-2z=3

Указать свободные члены:

1:(5, -1, -2);

2: (2, 1, 3);

3: (-3, 1, -1);

4: (1, 2, 3);

10. Может ли определитель иметь три строки и два столбца?

1: Да.

2: Нет,

 

Тесты к теме 7.

1. Выберите правильное утверждение:

1) Матрица может иметь любое число строк и столбцов.

2) Матрица всегда имеет одинаковое число строк и столбцов.

3) Матрица не может состоять из одной строки.

4) Матрица не может состоять из одного столбца.

Ответ: 1)

Ответ: 2)

Ответ: 3)

Ответ: 4)

2. Может ли матрица состоять из одного элемента?

1: Да,

2: Нет,

3: Да, если это элемент не равен нулю.

3. Умножить матрицу А=(1, -1, 3, ½) на число (-2):

1: -7

2: (1, -1, 3, -1)

3: (-2, -1, 3, ½)

4: (-2, 2, -6, -1)

4. Можно ли сложить матрицы 2*2 и 3*3?

1: Нет

2: Да.

5. Можно ли перемножить матрицы соразмерности 2*3 и 3*4?

1: Нет.

2: Да.

6. Транспонирование матриц – это:

1) Перестановка местами двух столбцов.

2) изменение знака у всех элементов,

3) Перестановка местами двух строк,

4) перестановка местами строк и столбцов,

Ответ: 1)

Ответ: 2)

Ответ: 3)

Ответ: 4)

7. Если размерность исходной матрицы равна 6*7, то транспонированная матрица будет иметь размерность:

1: 6*6

2: 6*7

3: 7*6

4: 7*7

8. Единичная матрица – это:

1: Матрица, у которой все элементы равны 1.

2: Матрица, у которой элементы главной диагонали равны 1, а остальные нули

3: Матрица, определитель которой равен 1.

4: Матрица, содержащая только один элемент.

9. Если А=(1,3, -2), В= (-1)

(0 )

(2 ) , то А*В равно

1: -5

2: (-1 0 –4)

3: (-1)( 0 )(-4)

4: Перемножить нельзя

Тесты к теме 8.

1. N – множество натуральных чисел. Какое из множеств является его подмножеством: А= {2, 4, 6, 8…}, В= (N2, N3, N4,…}; С= {1, 1/2, 1/3, 1/4, …};

Д= {1, 0, 1}?

1: В,

2: А,

3: С,

4: Д,

2. Найти пересечение множеств А= {1, 3, 5, 7, 9} и В= {2, 4, 6, 8}.

Ответ: пустое множество,

1: {1}

2: {1,2,3,4,5,6,7,8}

3: {0}

3. Найти объединение множеств А и В, если А = {1,3,5,7,9}; B = {2,4,6,8}.

1: AUB = {0}

2: AUB = 0

3: АUB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

4: AUB = {2,4,6,8}

4. Найти разность множеств А \ В, если А = {1,2,3,4}; B = {0,1,2}.

1: А\B = {3, 4}

2: A\B = {0,3,4}

3: A\B = {0,1,2}

4: A\B = {1,2,3}

5. Если /х/<2, то в виде двух неравенств его можно записать так:

1: -2<x<2

2: -2<=x<=2

3: 0<x<2

4: -2<x<0.

6. Если /х-1/<E, то E – окрестность точки 1 можно записать так:

1: -Е<x<Е

2: 1-Е<x<1+Е

3: 0<x<1+Е

4: -Е<x<0.

7. Если х принадлежит [-1, 3]. Какое из значений может принять х?

1: x<-1

2: -x= -3

3: x=0

4: x=4.

8. Если х не принадлежит (-2, 2). Какое из значений может принять х?

1: x= -1.

2: -x= 0

3: x=2

4: x= -4

9. Если –2<х<=0, то решением является:

1: (-2, 0)

2: (-2, 0]

3: (-2, 2)

4: [-2, 0].

10. Найти пересечение множеств (-2, 2) и (-3, 1):

1: (-3, 2)

2: [0, 1]

3: (-2, 1)

4: [-2, 0].

Тесты к теме 9. «Функция. Классификация функций».

1. Найти область определения функции у = (х-2) / (х^2 – 9)

1: (0, 2)

2: (-00, -9) U (9, 00).-

3: (2, 3).

4: (-00, -3) U (-3,3) U (3,00).

2 Найти область определения функции у = (х-1)^1/2

1: (-00, 00).

2: (0, 00).

3: [1, 00).

4: x = 0

3. Найти область определения функции у = lg(2+х)

1: (-2, 00).

2: [2, 00).

3: (-00, 00).

4: x = 0

4. Найти значения функции у = х^2/ (х-1) в точке х = 0.

1: у = -1.

2: у = 0.

3: у = 00.

4: у = 2

5. Найти значения функции у = х^2/(х-1) в точке х = 1.

1: у = -1.

2: у = 1.

3: не существует.

4: у = 2

6. Найти значения функции у = х^2/(х-1) в точке х = (а^2) +1.

1: у = не существует.

2: у = ([а^2]+1)/а^2.

3: у = -1.

4: у = [(а^2 + 1)^2]/а^2.

7. Дана функция у = (sinх)^2 +5. К какому классу функций она принадлежит?

1: Трансцендентная.

2: алгебраическая.

8. Написать целую алгебраическую функцию второй степени, в общем виде.

1: у = х^2.

2: у = [(А0)*х^2] + (А1)*х + А2.

3: у = [(А0)х^2]+1.

4: у = (х^2)/(х+1)

9. Указать дробно-рациональную функцию из заданных функций:

1) у=2*х/(1+х+х^2); 2) у=х/(sinх); 3) у=(2)^х/2; 4) у= lg(х+2)/(х-2)

Ответ: 1).

Ответ: 2).

Ответ: 3).

Ответ: 4).

10. Дана сложная функция у = [sin (1-х)]^2. Представить ее в виде цепочки простых функций.

1: U = sin x, V = U-1, y = (U-1)^2.

2: U = sin(1-x), y = U^2.

3: U = 1-х, V = sinU, y = V^2.

4 y = [sin(1-x)]^2 – простая функция

Тесты к теме 10.

х→ 00

1. Найти: lim [2/(x-1)];

1: 2

2: 0

3: не существует.

4: 1

х→ 1

2. Найти: lim [2/(x+2)];

1: не существует.

2: 0

3: 2/3

4: 1/2

х→ -3

3. Найти: lim [(х²+5х+6)/(x²-9)];

1: 0

2: 5/6

3: 1/2

4: 1/6

х→ 00

4. Найти: lim [(1+х²) / (x³+2х²+х-1)];

1: 1

2: 0

3: -1

4: 00

х→ 0

5. Найти: lim [х / sin x];

1: 1

2: 0

3: не существует.

4: 00

х→ 0

6. Найти: lim [sin5x / x];

1: не существует.

2: 0

3: 00

4: 5

х→ 00

7. Найти: lim [1+(1/(x+2))]^х;

1: 00

2: 1

3: е

4: не существует

х→ 00

8. Найти: lim [1+(1/x)]^2х;

1: е²

2: е

3: 1

4: 00

9. Является ли функция у=х² непрерывной в точке х=2

1: Нет

2: Да

10. Является ли функция у=1/(2х+1) непрерывной в точке х=1

1: Да

2: Нет

Тесты к теме 11.

1. Найти приращение функции у=1/х, если х=1, ∆х=0,1.

1: - 1/11,

2: 0,1,

3: 0,01,

4: - 1,

2. Пользуясь определением производной, найти производную от функции у=х^3.

1: 3х^2∆х,

2: х^2,

3: 3х^2 - 1,

4: 3х^2,

3. Найти производную от функции у=хe^x , в точке х=0.

1: e+e^-1,

2: e^1,

3: 1,

4: 0,

4. Найти производную от функции у=х^5 – ¼x^4 + 3, в точке х.

1: 5x^4 – x^3 + 3,

2: 5х^4 – x^3,

3: 5x^4 – x^4 + 1,

4: 3,

5. Найти производную от функции у=sinx/cosx

1: sinx - cosx,

2:-cosx/sinx,

3: 1/cosx^2,

4: 1,

6. Найти дифференциал функции у=х^3 – 1.

1: 3(dx)^2,

2: 3x^2,

3: 3dx,

4: 3х^2dx,

7. Дана функция у=3х^2 – х + 1. Найти у``

1: 6x,

2: 6,

3: 1,

4: 6x^2,

8. Найти у```, если у=х^6 – 1/4х^4+1/2x^2+2.

1: 120х^3 – 2x,

2: 120x^3,

3: 120x^3 – 2x +2,

4: 120,

9. Найти у```, если у=(х^2)*e^x.

1: 2e^х + 4xe^x +(x^2)*e^x,

2: 2xe^x+(x^2)*e^x,

3: 2xe^x + e^x,

4: 2e^x,

Тесты к теме 12.

1. Найти первообразную для функции у = х.

1: х – 2

2: 2х,

3: 2х^2,

4: (х^2)/2.

2. Даны функции F1 (x) = sinx – 8, F2 = sinx +3. Первообразными для какой функции они являются ?

1: х,

2: cosx,

3: -cosx,

4: -х.

3. Найти производную от функции $ln(x^2 +1)dx.

1: 2х/ [(x^2) +1],

2: ln[(х^2)+1].

3: ln((х^2)+1)dx,

4: 1/((x^2)+1)

4. Найти дифференциал от функции $x arcsin2x dx.

1: x arcsin2x dx.

2: arcsin2х,

3: arcsin2x dx,

4: [arcsin2x +2x/ (1-4(x^2))^1/2]dx.

5. Вычислить $d(2^x^2)

1: (2^х^2) (ln2)2x,

2: (2^х^2)+C.

3: (2^х^2)dx,

6. Вычислить интеграл $(x^2 -3)dx.

1: [(x^3)/3x] – 3x,

2: [(х^3)/3] – 3х +С.

3: (3х^3)+C,

4: [(x^2)-3]+C

7. Справедлива ли формула $U(x) V(x)dx = $U(x)dx*$V(x)dx?

1: Нет

2: Да.

8. Можно ли вынести постоянный множитель за знак интеграла ?

1: Да.

2: Нет

9. Указать какие из интегралов является «неберущимися» $sin(x^2) dx, $lnx/x dx, $[1+ (x^1/3)] dx.

1: sin(x^2) dx.

2: $ lnx/x dх,

3: $[1+x^1/3]dx.

10. Указать какие из интегралов является «неберущимися» $(e)^-x^2 dx,

$xe^x^2, $x^2 e^-x^2 dx, $xe^-x^2 dx.

1 .$xe^-x^2 dx,

2: $ xe^x^2 dх,

3: $e^-x^2 dx

4: $[(x^2) (e^-x^2)] dx.

Тесты к теме 13.

1. Вычислить интеграл в пределах (1, 00) от функции dx/(x^2).

1: 1,

2: расходится,

3: 0,

4: -1,

2. Вычислить интеграл в пределах (0, 00) от функции e^-x dx.

1: расходится,

2: 1,

3: 0,

4: -1,

3. Вычислить интеграл в пределах (-00, 00) от функции e^-2x dx.

1: -1,

2: 0,

3: 1,

4: расходится,

4. Вычислить интеграл в пределах (0, 1) от функции dx/x.

1: 2,

2: сходится

3: расходится,

4: 0,

Тесты к теме 14.

1. Зависит ли интегральная сумма для функции у=f(x) на отрезке [а, в] от способа разбиения отрезка на 10 частей ?

1: Да,

2: Нет,

2.Зависит ли интегральная сумма для функции у=f(х) на отрезке [а, в]от выбора точек Сi на i элементарном отрезке, i = 1,2,…,п?.

1: Нет,

2: Да,

3. Можно ли записать интеграл в пределах (0, 2) от функции (sinx^2 – 3x^1/2)dx = $ в пределах от (0, 2) от функции sinx^2 dx + 3$ в пределах (0, 2) от функции х^1/2 dx ?

1: Да,

2: Нет,

4. Можно ли записать интеграл в пределах (0, 2) от функции f(x)dx = интегралу в пределах (0, 1) от функции f(x)dx + интеграл в пределах (1, 2) от функции f(x)dx.

1: Нет,

2: Да,

5. Вычислить интеграл в пределах (4, 3) от функции (x^1/2)dx.

1: 2/3,

2: 19,

3: 38/3,

4: 1,

6. Вычислить интеграл в пределах (0,П/2) от функции (sinx)dx.

1: 1/2,

2: -1,

3: 0,

4: 1,

7. Вычислить интеграл в пределах (1, 3) от функции dx/х^2.

1: -1/3,

2: 2/3,

3: 1,

4: 0,

8. Найти значение интегральной суммы для f(x) = 1 на отрезке [a, в].

1: в-а,

2: ав,

3: 1/в-а,

4: 2,

9. Верно ли равенство интеграл в пределах (0, 2) от f(x)dx.= - интеграл в пределах (2, 0) от f(x)dx ?

1: Нет.

2: Да,

.