Практикум по предмету Математические методы и модели

Министерство образования Российской Федерации

Южно-Уральский государственный университет

Кафедра «Экономика и инвестиции»

_

_

Габрин К.Э.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ
Семестровое задание и методические указания к решению задач

Челябинск

Издательство ЮУрГУ

2000

УДК

ББК

Габрин К.Э., Математические методы и модели: Семестровое задание и методические рекомендации к решению задач. – Челябинск: Издательство ЮУрГУ, 2000. – 39 с.

Приведены задачи семестрового задания, методические указания к их решению, примеры вычислений, рекомендуемая литература и приложения.

Пособие предназначено для студентов специальностей 060811, 061101, 061120.

Табл. 12, прилож. 4, список лит. – 13 назв.

Одобрено учебно-методической комиссией факультета «Экономика и управление».

Рецензент: Никифоров К.В.

Задача 1

Многофакторный регрессионный и корреляционный анализ

Варианты задач с 1 по 25 с указанием результативного y и факторных x₁, x₂ признаков приведены в табл. 1.

По выборочным данным, представленным в табл. 2 и табл. 3, исследовать на основе линейной регрессионной модели зависимость результативного признака от показателей производственно-хозяйственной деятельности предприятий.

Таблица 1

Варианты задач

№ вар.	Результативный признак	Факторные признаки	№ вар.	Результативный признак	Факторные признаки
1	y1	x1,x3	14	y3	x1,x14
2	y2	x1,x5	15	y2	x5,x9
3	y2	x1,x7	16	y3	x8,x10
4	y2	x1,x11	17	y3	x7,x14
5	y2	x1,x10	18	y3	x3,x6
6	y1	x3,x4	19	y3	x1,x14
7	y2	x3,x11	20	y1	x2,x6
8	y2	x11,x5	21	y1	x3,x7
9	y1	x3,x5	22	y2	x5,x8
10	y2	x11,x6	23	y2	x9,x10
11	y2	x1,x6	24	y3	x4,x11
12	y2	x1,x12	25	y3	x1,x12
13	y2	x1,x2

Таблица 2

Обозначения и наименование показателей

производственно-хозяйственной деятельности предприятий

Обозначение показателя	Наименование показателя
y1	Производительность труда, тыс.руб./чел.
y2	Индекс снижения себестоимости продукции
y3	Рентабельность
x1	Трудоемкость единицы продукции
x2	Удельный вес рабочих в составе ППР
x3	Удельный вес покупных изделий
x4	Коэффициент сменности оборудования, смен
x5	Премии и вознаграждения на одного работника ППР, тыс.руб.
x6	Удельный вес потерь от брака,%
x7	Фондоотдача активной части ОПФ, руб./руб.
x8	Среднегодовая численность ППР, чел.
x9	Среднегодовая стоимость ОПФ, млн.руб.
x10	Среднегодовой фонд заработной платы ППР
x11	Фондовооруженность труда, тыс.руб./чел.
x12	Оборачиваемость нормируемых оборотных средств, дн.
x13	Оборачиваемость ненормируемых оборотных средств, дн.
x14	Непроизводительные расходы, тыс.руб.

Таблица 3

Исходные данные для расчета

№	y1	y2	y3	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	x10	x11	x12	x13	x14
1	9,4	62	10,6	0,23	0,62	0,4	1,35	0,88	0,15	1,91	7394	39,53	14257	5,35	173,9	11,88	28,13
2	9,9	53,1	9,1	0,43	0,76	0,19	1,39	0,57	0,34	1,68	11586	40,41	22661	3,9	162,3	12,6	17,55
3	9,1	56,5	23,4	0,26	0,71	0,44	1,27	0,7	0,09	1,89	7801	37,02	14903	4,88	101,2	8,28	19,52
4	5,5	30,1	9,7	0,43	0,74	0,25	1,1	0,84	0,05	1,02	6371	41,08	12973	5,65	177,8	17,28	18,13
5	6,6	18,1	9,1	0,38	0,72	0,02	1,23	1,04	0,48	0,88	4210	42,39	6920	8,85	93,2	13,32	21,21
6	4,3	13,6	5,4	0,42	0,68	0,06	1,39	0,66	0,41	0,62	3557	37,39	5736	8,52	126,7	17,28	22,97
7	7,4	89,8	9,9	0,30	0,77	0,15	1,38	0,86	0,62	1,09	14148	101,7	26705	7,19	91,8	9,72	16,38
8	6,6	76,6	19,1	0,37	0,77	0,24	1,35	1,27	0,5	1,32	15118	81,32	28025	5,38	70,6	8,64	16,16
9	5,5	32,3	6,6	0,34	0,72	0,11	1,24	0,68	1,2	0,68	6462	59,92	11049	9,27	97,2	9,0	20,09
10	9,4	199	14,2	0,23	0,79	0,47	1,4	0,86	0,21	2,3	24628	107,3	45893	4,36	80,3	14,76	15,98
11	5,7	90,8	8	0,41	0,71	0,2	1,28	0,45	0,66	1,43	1948	80,83	36813	4,16	128,5	10,44	22,76
12	5,2	82,1	17,5	0,41	0,79	0,24	1,33	0,74	0,74	1,82	18963	59,42	33956	3,13	94,7	14,76	15,41
13	10,0	76,2	17,2	0,22	0,76	0,54	1,22	1,03	0,32	2,62	9185	36,96	17016	4,02	85,3	20,52	19,35
14	6,7	37,1	12,9	0,31	0,79	0,29	1,35	0,96	0,39	1,24	6391	37,21	11688	5,82	85,3	7,92	14,63
15	9,4	51,6	13,2	0,24	0,70	0,56	1,2	0,98	0,28	2,03	6555	32,87	12243	5,01	116,6	18,72	22,62

Методические указания к решению задачи 1

Множественный корреляционный анализ состоит в оценке корреляционной матрицы генеральной совокупности по выборке и определении на ее основе оценок частных и множественных коэффициентов корреляции и детерминации.

Парный и частный коэффициенты корреляции характеризуют тесноту линейной зависимости между двумя переменными соответственно на фоне действия и при исключении влияния всех остальных показателей, входящих в модель. Диапазон изменения этих коэффициентов [-1;1].

Множественный коэффициент корреляции характеризует тесноту связи между одной переменной (результативной) и остальными, входящими в модель. Диапазон изменения этого коэффициента [0;1].

Квадрат множественного коэффициента корреляции называется множественным коэффициентом детерминации; он характеризует долю дисперсии одной переменной (результативной), обусловленной влиянием остальных, входящих в модель.

Дополнительная задача корреляционного анализа (основная – в регрессионном) – оценка уравнения регрессии.

Исходной для анализа является матрица X размерности (nk), которая представляет собой n наблюдений для каждого из k факторов. Оцениваются: вектор средних X_ср, вектор среднеквадратических отклонений S и корреляционная матрица R:

X_ср=(x_1ср, x_2ср,…, x_jср,…, x_kср);

S=(s₁, s₂, …, s_j, …, s_k);

	1	r12	…	r1k
R=	r21	1	…	r2k
	…	…	…	…
	rk1	rk2	…	1

где r_jl=[(x_ij-x_jср)(x_il-x_lср)]/(ns_js_l), j,l=1,2,…,k;

s_j=([(x_ij- x_jср)²]/n)^0,5, i=1…n;

x_il – значение i-того наблюдения j-того фактора.

Кроме того, находятся оценки частных и множественных коэффициентов корреляции любого порядка. Например, частный коэффициент корреляции порядка k-2 между факторами X₁ и X₂ равен

r_12/3,4,…,k=-R₁₂/(R₁₁R₂₂)^0,5,

где R_jl – алгебраическое дополнение элемента r₁₂ матрицы R.

Множественный коэффициент корреляции порядка k-1 фактора X₁ (результативного признака) определяется по формуле

r_1/2,3,…,k= r₁=(R₁₂/R₁₁)^0,5,

где R₁₂ – определитель матрицы R.

Значимость парных и частных коэффициентов корреляции проверяется по t-критерию Стьюдента. Наблюдаемое значение критерия находится по формуле

t_набл=(n-l-2)^0,5r/(1-r²)^0,5,

где r – оценка коэффициента, l – порядок коэффициента корреляции (число фиксируемых факторов).

Коэффициент корреляции считается значимым (т.е. гипотеза H₀: =0 отвергается с вероятностью ошибки ), если t_набл>t_кр, определяемого по таблицам t-распределения (Приложение 1) для заданного  и =n-l-2.

Значимость множественного коэффициента корреляции (или его квадрата – коэффициента детерминации) определяется по F-критерию. Наблюдаемое значение, например, для ²_1/2,…k, находится по формуле

F_набл= [r²_1/2,…k/(k-1)]/[(1-r²_1/2,…k)/(n-k)].

Множественный коэффициент корреляции считется значимым, если F_набл>F_кр(, k-1, n-k), где F_кр определяется по таблице F-распределения (Приложение 1) для заданных , ₁=k-1 и ₂=n-k.

Множественный регрессионный анализ – это статистический метод исследования зависимости случайной величины y от переменных x_j, рассматриваемых как неслучайные величины независимо от истинного закона распределения x_j. Предполагается, что y имеет нормальный закон распределения с условным мат. ожиданием y=(x₁,x₂,…,x_k), являющимся функцией от аргументов x_j, и с постоянной, не зависящей от аргументов дисперсией ². Наиболее часто встречаются линейные уравнения регрессии вида y=₀+₁x₁+₂x₂+…+_jx_j+…+_kx_k, линейные относительно неизвестных параметров _j (j=0,1,…,k) и аргументов x_j.

Коэффициент регрессии _j показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак y, если переменную x_j увеличить на единицу ее измерения, т.е. является нормативным коэффициентом.

В матричной форме регрессионная модель имеет вид

Y=X+,

где Y – случайный вектор-столбец размерности [n1] наблюдаемых значений результативного признака (y₁,y₂,…,y_n); X – матрица размерности [n (k+1)] наблюдаемых значений аргументов. Элемент матрицы x_ij рассматривается как неслучайная величина (i=1,2,…,n; j=0,1,2,…,k; x_оi=1);  – вектор-столбец размерности [(k+1)1] неизвестных коэффициентов регрессии модели;  – случайный вектор-столбец размерности [n1] ошибок наблюдений (остатков). Компоненты вектора независимы между собой, имеют нормальный закон распределения с нулевым мат. ожиданием и неизвестной дисперсией. На практике рекомендуется, чтобы n превышало k как минимум в три раза.

Находится оценка уравнения регрессии вида

y*=b₀+b₁x₁+b₂x₂+…+b_jx_j+…+b_kx_k.

Cогласно методу наименьших квадратов вектор оценок коэффициентов регрессии определяется по формуле

b=(X^TX)^-1X^TY,

где

	1	x11	…	x1k		y1		b0
	.	.		.		.		.
	.	.		.		.		.
X=	1	xi1	…	xik	Y=	yi	b=	bj
	.	.		.		.		.
	.	.		.		.		.
	1	xn1	…	xnk		yn		bk

X^T – транспонированная матрица X; (X^TX)^–1 – матрица, обратная к матрице X^TX.

Оценка ковариационной матрицы коэффициентов регрессии вектора b определяется из выражения

S*(b)=S*²(X^TX)^–1,

где S*²=(Y-Xb)^T(Y-Xb)/(n-k-1).

Учитывая, что на главной диагонали ковариационной матрицы находятся дисперсии коэффициентов регрессии, имеем

S*²_b(j–1)= S*²[(X^TX)^–1]_jj для j=1,2,…,k, k+1.

Значимость уравнения регрессии, т.е. гипотеза H₀: =0 (₀=₁=…=_k=0), проверяется по F-критерию, наблюдаемое значение которого определяется по формуле

F_набл=(Q_R/(k+1))/(Q_ост/(n-k-1)),

где Q_R=(Xb)^T(Xb), Q_ост=(Y-Xb)^T(Y-Xb).

По таблице F-распределения (Приложение 1) для заданных , ₁=k+1, ₂=n-k-1 находят F_кр.

Гипотеза H₀ отклоняется с вероятностью , если F_набл>F_кр. Из этого следует, что уравнение является значимым, т.е. хотя бы один из коэффициентов регрессии отличен от нуля.

Для проверки значимости отдельных коэффициентов регрессии, т.е. гипотез H₀: _j=0, где j=1,2,…,k, используют t-критерий и вычисляют t_набл(b_j)=b_j/S*_bj. По таблице t-распределения (Приложение 1) для заданных , =n-k-1 находят t_кр.

Гипотеза H₀ отвергается с вероятностью ошибки , если t_набл >t_кр. Из этого следует, что соответствующий коэффициент регрессии _j значим, т.е. _j  0. В противном случае коэффициент регрессии незначим и соответствующая переменная в модель не включается. После этого реализуется алгоритм пошагового регрессионного анализа, состоящий в том, что исключается одна из незначимых переменных, которой соответствует минимальное по абсолютной величине значение t_набл. После этого вновь проводят регрессионный анализ с числом факторов, уменьшенным на единицу. Алгоритм заканчивается получением уравнения регрессии со значимыми коэффициентами.

Для решения задачи требуется:

Найти оценку уравнения регрессии вида y=b₀+b₁x₁+b₂x₂.

Проверить значимость уравнения регрессии при =0,05 или =0,01.

Проверить значимость коэффициентов регрессии.

Дать экономическую интерпретацию коэффициентам регрессии и оценить адекватность полученной модели по величине абсолютных e_i и относительных _i отклонений.

При необходимости перейти к алгоритму пошагового регрессионного анализа, отбросив один из незначительных коэффициентов регрессии.

Построить матрицы парных и частных коэффициентов корреляции.

Найти множественные коэффициенты корреляции и детерминации.

Проверить значимость частных и множественных коэффициентов корреляции.

Провести содержательный экономический анализ полученных результатов.

Пример решения задачи 1

По данным годовых отчетов десяти (n=10) предприятий (табл.4) провести анализ зависимости себестоимости товарной продукции y (млн. р.) от объема валовой продукции x₁ (млн. р.) и производительности труда x₂ (тыс. р. на чел.).

Таблица 4 Исходная информация для анализа и результаты расчета

	Исходная информация			Результаты расчета
№	xi1	xi2	yi	y*i	(y*i)2	ei=yi-y*i	(ei)2	i= ei/ y*i
1	3	1,8	2,1	2,31572	5,36255	-0,21572	0,04653	-0,09315
2	4	1,5	2,8	3,48755	12,16300	-0,68755	0,47273	-0,19714
3	5	1,4	3,2	4,35777	18,99015	-1,15777	1,34043	-0,26568
4	5	1,3	4,5	4,50907	20,33171	-0,00907	0,00008	-0,00201
5	5	1,3	4,8	4,50907	20,33171	0,29093	0,08464	0,064521
6	5	1,5	4,9	4,20647	17,69439	0,69353	0,48098	0,164872
7	6	1,6	5,5	4,77408	22,79184	0,72592	0,52696	0,152054

Окончание табл. 4

	Исходная информация			Результаты расчета
№	xi1	xi2	yi	y*i	(y*i)2	ei=yi-y*i	(ei)2	i= ei/ y*i
8	7	1,2	6,5	6,09821	37,18816	0,40179	0,16144	0,065887
9	15	1,3	12,1	11,6982	136,84905	0,40175	0,16140	0,034343
10	20	1,2	15,0	15,4441	238,52177	-0,44415	0,19727	-0,02876
	Сред. знач.			=	530,22437	=	3,47247
	7,5	1,41	6,14
y*i – значения, вычисленные по уравнению регрессии
ei – абсолютные ошибки аппроксимации
i – относительные ошибки аппроксимации

Решение

Определение вектора b оценок коэффициентов

уравнения регрессии

Расчет оценок коэффициентов уравнения регрессии y*=b₀+b₁x₁+b₂x₂ производится по уравнению b=(X^TX)^–1X^TY:

	n	xi1	xi2		10	75	14,1
XTX =	xi1	x2i1	xi1xi2	=	75	835	100,4
	xi2	xi1xi2	x2i2		14,1	100,4	20,21

	yi		61,4		b0		2,88142
XTY =	xi1yi	=	664,5	b =	b1	=	0,71892
	xi2yi		82,23		b2		-1,51303

Таким образом, оценка уравнения регрессии примет вид

y*=2,88142+0,71892x₁-1,51303x₂.

2. Проверка значимости уравнения y*=2,88142+0,71892x₁-1,51303x₂.

а) Q_R=(Xb)^T(Xb)=y*_i =530,224365;

б) Q_ост=(Y-Xb)^T(Y-Xb)= e²_i =3,472465;

в) несмещенная оценка остаточной дисперсии:

S*²= Q_ост/(n-3)=3,472465 / 7 = 0,496066;

г) оценка среднеквадратичного отклонения:

S*= 0,7043195;

д) проверяем на уровне =0,05 значимость уравнения регрессии, т.е. гипотезу H₀: =0 (₀=₁=₂=0). Для этого вычисляем

F_набл=(Q_R/(k+1))/(Q_ост/(n-k-1))=(530,224365 / 3))/(3,472465 / 7))=356,32776.

Далее по таблице F-распределения для =0,05, ₁=k+1=3, ₂=n-k-1=7 находим F_кр=4,35. Так как F_набл>F_кр (356,32776>4,35), то гипотеза H₀ отвергается с вероятностью ошибки 0,05. Т.о. уравнение является значимым.