Группы геометрических преобразований. Группы вращений, подобий, гомотетий с заданным общим центром, параллельных переносов
Арифметические функции: t(n), s(n), j(n)
Алгоритм Евклида и его применения
Линейное представление наибольшего общего делителя
Базис пространства решений однородной системы линейных уравнений - это фундаментальная система решений
Корни многочлена; схема Горнера; теорема Безу
Разложение многочлена в произведение неприводимых
Теорема о строении простого алгебраического расширения
Навигация
Программа государственного экзамена по математике для студентов математического факультета Московского городского педагогического университета
Программа государственного экзамена по математике для студентов математического факультета Московского городского педагогического университета
38950
знаков
13
таблиц
4
изображения
Программа государственного экзамена по математике
для студентов математического факультета
Московского городского педагогического университета
Алгебра и теория чисел
1. Группы; примеры и простейшие свойства элементов группы.
2. Кольца и поля; примеры и простейшие свойства элементов.
3. Арифметические функции: t(n), s(n), j(n).
4. Алгоритм Евклида и его применения.
5. Сравнения и их свойства. Теоремы Эйлера и Ферма.
6. Базис и размерность векторного пространства.
7. Основные теоремы о системах линейных уравнений.
8. Корни многочлена, теорема Безу, схема Горнера.
9. Разложение многочлена над полем в произведение
неприводимых множителей и его единственность.
10. Теорема о строении простого алгебраического расширения.
1. Группы; примеры и простейшие свойства элементов группы
10. Определение группы.
Всюду в дальнейшем запись (G, *) означает, что на непустом множестве G задана операция “*”.
Определение. Множество (G, *) называется группой, если выполнены следующие условия:
(1) операция “*” ассоциативна, т.е. ("x, y, zÎG) (x*y)*z = x*(y*z);
(2) множество G обладает нейтральным элементом относительно операции *:
($eÎG)("xÎG) x*e = e*x = x;
(3) каждый элемент множества G обладает симметричным элементом:
("xÎG) ($yÎG) x*y = y*x = e.
20. Примеры групп: числовые группы, группы симметрий геометрических фигур, группы подстановок, матричные группы.
Примеры групп весьма разнообразны. Перечислим некоторые из них.
1. Числовые группы (группы, элементы которых являются комплексными числами).
а) Аддитивные группы целых чисел Z, рациональных чисел Q, действительных чисел R, комплексных чисел C.
б) Мультипликативные группы ненулевых рациональных чисел Q*, ненулевых действительных чисел R*, ненулевых комплексных чисел C*, положительных рациональных чисел Q+, положительных действительных чисел R+.
2. Группы подстановок S(X) и Sn, действующих на множестве X, в частности, на множестве {1, 2, . . . , n}.
3. Группы движений геометрических фигур. Пусть Ф - какая-нибудь геометрическая фигура на плоскости, O(Ф) - множество движений плоскости, переводящих фигуру Ф на себя. Множество O(Ф) относительно операции композиции (последовательного выполнения) движений является группой. Элементы множества O(Ф) часто называются симметриями фигуры Ф.
Рассмотрим, например, группу симметрий правильного треугольника.
|
|
Группа симметрий правильного треугольника состоит из шести элементов: трех отражений a, b, g относительно высот треугольника a - отражение относительно AO, b - BO, g - CO; и трех вращений с центром с точке O на углы 0, 
; их удобно обозначить e, r, s. Для описания умножения элементов группы (G, *) можно использовать так называемую таблицу Кэли (таблицу умножения группы).
Для группы симметрий правильного треугольника таблица Кэли имеет вид:
| e | r | s | a | b | g | |
| e | e | r | s | |||
| r | r | s | e | |||
| s | s | e | r | |||
| a | g | e | s | r | ||
| b | r | e | ||||
| g | e |
Заметим, что вращения перемножаются по правилу r2 = s, r3 = e. Далее, квадрат любого отражения равен e.
Легко проверить, чтоab = s, ba = r. Кроме того, ar = g.
Остальные произведения в таблице легко восстановить, используя, например, групповую структуру операции. В частности, имеем:
ag =a(ar) = a2r = er = r;
bg =b(ar) = (ba)r = r2 = s.
Похожие работы
... учебного процесса методической подготовки будущего учителя. Основное содержание исследования отражено в следующих публикациях автора: I. Монографии: 1. Абдуразаков М.М. Совершенствования содержания подготовки будущего учителя информатики в условиях информатизации образования. –Махачкала: ДГПУ, 2006. –190 с. 12 п.л. 2. Гаджиев Г.М., Абдуразаков М.М. Технология преподавания информатики. – ...
... профиля и специализации. На факультетах общественных наук предметы, входившие в минимум, изучались в расширенном объеме[4]. 2. Положение русского студенчества в конце XIX начале XX века 2.1 Образ русского студента в конце XIX начале XX века В отличие от закрытых учебных заведений, в которых учились в основном дворяне, значительное число учащихся в университетах были людьми незнатными ...
... и устойчивых требований, которые определяют характер и особенности организации коррекционно-образовательного процесса и управления познавательной деятельностью лиц с особыми образовательными потребностями. Специальная педагогика опирается на соответствующие обще- педагогические принципы организации образования и управления познавательной деятельностью, однако их реализация в системе специального ...
... покровителей, сделавших особый вклад в развитие культуры, в Европе называют медичи. Конец девятнадцатого века в России был ознаменован необычайным подъёмом культуры. В связи с этим появились в стране и те, кто этот подъём всячески поддерживал, в том числе и материально. Эти люди были в основном богатыми купцами и промышленниками, которые чувствовали необычайный прогресс в развитии культуры ...
0 комментариев