Разложение многочлена в произведение неприводимых

9. Разложение многочлена в произведение неприводимых

множителей и его единственность

1⁰. Основная теорема арифметики кольца k[x]. Любой многочлен положительной степени можно разложить в произведение неприводимых сомножителей, и такое представление единственно с точностью до ассоциированности и порядка сомножителей.

Доказательство. 1. Существование. Индукцией по n докажем, что каждый многочлен f степени n ³ 1 можно разложить в произведение неприводимых сомножителей. Основанием индукции при n = 1 служит тривиальное разложение f = f. Сделав индуктивное предположение, рассмотрим многочлен f степени n. Если f - неприводим, то разложение имеет вид: f = f; если же f - приводим, то его можно записать в виде f = gh, где степени g, h меньше степени f. По предположению индукции многочлены g и h можно разложить на неприводимые сомножители:

g = p₁p₂ . . . p_s, h = q₁q₂ . . . q_t,

поэтому

f = p₁p₂ . . . p_sq₁q₂ . . . q_t.

2. Единственность. Предположим, что некоторый многочлен f имеет два разложения на неприводимые сомножители:

f = p₁p₂ . . . p_s , f = q₁q₂ . . . q_t,

тогда

p₁p₂ . . . p_s = q₁q₂ . . . q_t.

Левая часть последнего равенства делится на p₁, значит, правая часть также делится на p₁. По основному свойству неприводимого многочлена на p₁ делится либо q₁, либо q₂, . . . , либо q_t. Изменяя, если надо нумерацию сомножителей, можно считать, что p₁ делит q₁, и поскольку q₁ неприводим, то они ассоциированы, т.е. для некоторого числа c верно p₁ = cq₁. Значит, сокращая на p₁ обе части равенства

p₁p₂ . . . p_s = p₁q₂ . . . q_t,

получаем:

p₂ . . . p_s = (cq₂ ) . . . q_t.

Обозначим данное произведение через m, и заметим, что deg m < deg f. По предположению индукции можно считать, что для m выполнено утверждение теоремы, т.е. левая часть последнего равенства отличается от правой либо перестановкой сомножителей, либо их ассоциированностью, значит, и в исходном равенстве

 p₁p₂ . . . p_s = q₁q₂ . . . q_t

s = t и одна часть отличается от другой только порядком сомножителей и их ассоциированностью. ð

Пример. Разложить x⁶ - 1 на неприводимые множители над Q.

Решение. x⁶ - 1 = (x³ - 1)(x³ + 1) = (x - 1)( x² + x + 1)(x + 1)( x² - x + 1).

2⁰. Каноническое разложение числа.

Обозначим через p(k) - множество неприводимых нормированных многочленов над полем k.

Тогда произвольный многочлен f представим в виде произведения

c, где a_i ³ 0, p_i Î p(k), cÎk.

Указанное разложение однозначно определяется многочленом f и называется его каноническим разложением; число a_i называется показателем p_i в каноническом разложении.

Канонические разложения удобны для доказательства различных свойств делимости и вычисления НОД и НОК. Приведем важнейшие из них.

1⁰. f := c делит g := d Û a₁ £ b₁, a₂ £ b₂, . . . , a_n £ b_n.

Доказательство. Пусть g = fh, a₁ > b₁, h := e. Тогда b₁ = a₁ + c₁ > b₁, что невозможно. Обратное утверждение очевидно. ð

2⁰. Пусть имеются канонические разложения многочленов f и g:

f = c, g = d.

Тогда

НОД(f, g) = , НОК(f, g) = ,

где c_i = min (a_i, b_i), d_i = max (a_i, b_i).

Доказательство. Пусть j =  , где c_i = min (a_i, b_i). Тогда по свойству 1⁰ многочлен j является делителем многочленов f и g и всякий общий делитель f и g делит многочлен j. Следовательно, j = НОД(f, g).

Аналогично доказывается и второе утверждение. ð

Из свойства 2⁰ немедленно вытекает свойство

3⁰. (Связь между НОД и НОК).

НОД(f, g) × НОК(f, g) = f × g.

Похожие работы

Совершенствование содержания подготовки будущего учителя информатики

Скачать

106762

1

2

... учебного процесса методической подготовки будущего учителя. Основное содержание исследования отражено в следующих публикациях автора:   I. Монографии: 1. Абдуразаков М.М. Совершенствования содержания подготовки будущего учителя информатики в условиях информатизации образования. –Махачкала: ДГПУ, 2006. –190 с. 12 п.л. 2. Гаджиев Г.М., Абдуразаков М.М. Технология преподавания информатики. – ...

Правовой статус студентов в конце XIX - начале XX века

Скачать

47400

0

0

... профиля и специализации. На факультетах общественных наук предметы, входившие в минимум, изучались в расширенном объеме[4]. 2. Положение русского студенчества в конце XIX начале XX века 2.1 Образ русского студента в конце XIX начале XX века В отличие от закрытых учебных заведений, в которых учились в основном дворяне, значительное число учащихся в университетах были людьми незнатными ...

Специальная педагогика

Скачать

899509

4

0

... и устойчивых требований, которые определяют характер и особенности организации коррекционно-образовательного процесса и управления познавательной деятельностью лиц с особыми образовательными потребностями. Специальная педагогика опирается на соответствующие обще- педагогические принципы организации образования и управления познавательной деятельностью, однако их реализация в системе специального ...

Великие люди XIX века

Скачать

52769

0

0

... покровителей, сделавших особый вклад в развитие культуры, в Европе называют медичи. Конец девятнадцатого века в России был ознаменован необычайным подъёмом культуры. В связи с этим появились в стране и те, кто этот подъём всячески поддерживал, в том числе и материально. Эти люди были в основном богатыми купцами и промышленниками, которые чувствовали необычайный прогресс в развитии культуры ...