Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром.

(алгебра и начала анализа)

Исполнитель: Зырянов Р.Б.

Руководитель: Попова Н.Б.

Екатеринбург 1998

 

Оглавление

 

I. Введение

 

II. Уравнения с параметрами.

§1. Определения.

§2. Алгоритм решения.

§3. Примеры.

 

III. Неравенства с параметрами.

§1. Определения.

§2. Алгоритм решения.

§3. Примеры.

 

IV. Список литературы.

 

V. Приложения.

 

Введение

 

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.

В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.

 

§1. Основные определения

Рассмотрим уравнение

¦(a, b, c, …, k, x)=j(a, b, c, …, k, x), (1)

где a, b, c, …, k, x -переменные величины.

Любая система значений переменных

а = а₀, b = b₀, c = c₀, …, k = k₀, x = x₀,

при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, k, x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аÎА, bÎB, …, xÎX. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.

Переменные a, b, c, …, k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.

Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

§2. Алгоритм решения.

       Находим область определения уравнения.

        Выражаем a как функцию от х.

        В системе координат хОа строим график функции а=¦(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

 Находим точки пересечения прямой а=с, где сÎ(-¥;+¥) с графиком функции а=¦(х).Если прямая а=с пересекает график а=¦(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=¦(х) относительно х.

   Записываем ответ.

 

§3. Примеры

 

 

I. Решить уравнение

 

(1)

 

Решение.

Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а :

или

График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.

Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения относительно х.

Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение .

 

Если а Î , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений  и , получаем

и .

Если а Î  , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.

 

 Ответ:

Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È, то ;

Если а Î , то , ;

Если а Î  , то решений нет.

 

II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение  имеет три различных корня.

 

Решение.

Переписав уравнение в виде и рассмотрев пару функций  , можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции , при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции .

В системе координат хОу построим график функции ). Для этого можно представить её в виде и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде

Поскольку график функции – это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный  , и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции . Поэтому находим производную

Ответ: .

III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений

имеет решения.

Решение.

Из первого уравнения системы получим  при  Следовательно, это уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы  “скользят” вершинами по оси абсцисс.

Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на множители

 

Множеством точек плоскости , удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые

и

Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.

Если вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В (точка В соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается

прямой ), то рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если вершина “полупараболы” совпадает с точкой А, то .

Случай касания “полупараболы” с прямой  определим из условия существования единственного решения системы

В этом случае уравнение

имеет один корень, откуда находим :

Следовательно, исходная система не имеет решений при , а при  или имеет хотя бы одно решение.

Ответ: а Î (-¥;-3] È(;+¥).

IV. Решить уравнение

Решение.

Использовав равенство , заданное уравнение перепишем в виде

Это уравнение равносильно системе

Уравнение  перепишем в виде

. (*)

Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения. Построим графики функций и  Из графика следует, что при графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений.

Если , то при  графики функций совпадают и, следовательно, все значения  являются решениями уравнения (*).

При  графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой . Таким образом, при  уравнение (*) имеет единственное решение - .

Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения (*) будут удовлетворять условиям

Пусть , тогда . Система примет вид

Её решением будет промежуток хÎ (1;5). Учитывая, что  , можно заключить, что при  исходному уравнению удовлетворяют все значения х из промежутка [3; 5).

Рассмотрим случай, когда  . Система неравенств примет вид

Решив эту систему, найдем аÎ (-1;7). Но , поэтому при аÎ (3;7) исходное уравнение имеет единственное решение .

Ответ:

если аÎ (-¥;3), то решений нет;

если а=3, то хÎ [3;5);

если aÎ (3;7), то ;

если aÎ [7;+¥), то решений нет.

V. Решить уравнение

 , где а - параметр. (5)

Решение.

1.   При любом а :

2.   Если , то ;

если , то .

3.   Строим график функции  , выделяем ту его часть , которая соответствует . Затем отметим ту часть графика функции  , которая соответствует .