Примеры разложения функций в ряды Фурье

3.1. Примеры разложения функций в ряды Фурье.

Пример 1. Периодическая функция ƒ(x) с периодом 2π определяется следующим образом: ƒ(x) = х , -π < x ≤ π.

Эта функция – кусочно монотонная и ограниченная. Следовательно, её можно разложить в ряд Фурье.

По формуле (4) находим:

Применяя формулам (17), (18) и интегрируя по частям, получим:

.

Таким образом, получаем ряд:

.

Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек разрыва. В каждой точке разрыва сумма ряда равна среднему арифметическому ее пределов справа и слева, т. е. нулю.

Пример 2. Периодическая функция ƒ(x) с периодом 2π определена следующим образом:

ƒ(x) = -1 при –π < x < 0,

ƒ(x) = 1 при 0 ≤ x ≤ π.

Эта функция кусочно монотонна и ограничена на отрезке [-π, π]. Вычислим ее коэффициенты Фурье:

,

(Нарисовать: рис. 377, стр. 334, Пискунов)

Следовательно, для рассматриваемой функции ряд Фурье имеет вид:

.

Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва.

4. Замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье.

Отметим следующее свойство периодической функции ψ(x) с периодом 2π:

, каково бы ни было число λ.

Действительно, так как ψ(ξ - 2π) = ψ (ξ) , то, полагая x = ξ - π, можем написать при любых c и d:

.

В частности, принимая с = - π, d = λ, получим:

поэтому

Указанное свойство означает, что интеграл от периодической функции ψ(x) по любому отрезку, длина которого равна периоду, имеет всегда одно и тоже значение.

Из доказанного свойства вытекает, что при вычислении коэффициентов Фурье мы можем заменить промежуток интегрирования (-π, π) промежутком интегрирования (λ, λ +2π), т. е. можем положить

(20)

где λ – любое число.

Это следует из того, что функция ƒ(x) является, по условию, периодической с периодом 2π; следовательно и функция ƒ(x)·cоsnx, и ƒ(x)·sinnx являются периодическими функциями с периодом 2π. В некоторых случаях доказанное свойство упрощает процесс нахождения коэффициентов.

Пример.

Пусть требуется разложить в ряд Фурье функцию ƒ(x) с периодом 2π, которая на отрезке 0 < x ≤ 2π задана равенством ƒ(x)= х.

(Пискунов, рис. 382, стр. 339)

Эта функция на отрезке [-π, π] задается двумя формулами:

ƒ(x) = х + 2π на отрезке [-π, 0]

ƒ(x) = х на отрезке [0, π].

В то же время на отрезке [0, 2π] гораздо проще она задается одной формулой ƒ(x) = х. Поэтому для разложения этой функции в ряд Фурье выгоднее воспользоваться формулами (20), приравняв λ=0.

Следовательно,

5. Ряды Фурье для чётных и нечётных функций.

Из определения четной и нечетной функции следует, что если ψ(x) – четная функция, то

.

Действительно,

так как по определению четной функции ψ(- x) = ψ(x).

Аналогично можно доказать, что если ψ(x) – нечетная функция, то

Если в ряд Фурье разлагается нечетная функция ƒ(x), то произведение ƒ(x) ·coskx есть функция также нечетная, а ƒ(x) · sinkx – четная; следовательно,

(21)

т. е. ряд Фурье нечетной функции содержит «только синусы».

Если в ряд Фурье разлагается четная функция, то произведение ƒ(x) · sinkx есть функция нечетная, а ƒ(x) · coskx – четная, то:

(22)

т. е. ряд Фурье четной функции содержит «только косинусы».

Полученные формулы позволяют упрощать вычисления при разыскании коэффициентов Фурье в тех случаях, когда заданная функция является четной или нечетной. Очевидно, что не всякая периодическая функция является четной или нечетной.