Получение тепловой модели

2.2   Получение тепловой модели

Для нормального протекания процесса эмульсификации необходимо поддерживать температуру раствора в аппарате постоянной. Это достигается использованием тепловой рубашки, внутри которой создается постоянное перемешивание теплоносителя. При необходимости нагрева или охлаждения смеси в аппарате в рубашку подается некоторое количество горячей или холодной воды из соответствующих трубопроводов. Описанная схема теплового взаимодействия показана на рисунке 2.4.

Рисунок 2.4 – Тепловая схема процесса

На рисунке 2.4 цифрами обозначены: 1 – тепловая рубашка (далее – просто рубашка), 2 – контур циркуляции, 3 – сбросная линия, 4 – линия поступления реагентов.

Циркуляционная линия с насосом введена для того, чтобы избежать образования застойных зон в рубашке, т.к. при отсутствии подачи горячей или холодной воды их образование неминуемо.

При составлении уравнений теплового баланса для рубашки и для аппарата пренебрегаем потерями теплоты в окружающую среду. Кроме того, считаем, что температура во всем объеме рубашки и аппарата постоянна. Это правомерно, поскольку в обоих случаях присутствует интенсивное перемешивание. Таким образом, мы имеем систему двух емкостей – аппарата и рубашки, каждую из которых можно считать аппаратом идеального смешения относительно температуры.

Запишем уравнение динамики для аппарата:

. (2.7)

В левой части уравнения записано изменение количества теплоты в реакторе. Первое слагаемое правой части соответствует приходу теплоты с потоком реагентов, второе слагаемое соответствует притоку теплоты за счет теплообмена с рубашкой.

В этом уравнении применены следующие обозначения:

ρ – плотность среды в реакторе, кг/м³;

c – теплоемкость среды в реакторе, Дж/(кг·К);

V₁ – объем реакционной смеси, м³;

T, T_н1, T_н2 – соответственно текущая температура реакционной смеси и температуры поступающих реагентов, °С;

v₁, v₂ – объемные скорости подачи раствора 1 и 2 соответственно, м³/с;

F – площадь соприкосновения раствора и стенки реактора, м²;

K_Т – коэффициент теплопередачи от раствора в реакторе к воде в рубашке, Вт/(м²·K);

(T – T_р) – разность температур в реакторе и в рубашке °С.

Знак “+” перед вторым слагаемым мы поставили в предположении, что тепловой поток направлен от рубашки к реактор. В обратном случае этот знак изменится на противоположный.

Запишем уравнение динамики для рубашки:

(2.8)

В левой части уравнения записано изменение количества теплоты в рубашке. Первое слагаемое правой части соответствует изменению количества теплоты в рубашке за счет притока воды с температурой T и оттока воды с температурой, равной температуре в рубашке; второе слагаемое соответствует оттоку теплоты за счет теплообмена с реактором.

В этом уравнении применены следующие обозначения:

ρ – плотность воды в рубашке, кг/м³;

c – теплоемкость воды, Дж/(кг·К);

V₂ – объем рубашки, м³;

T_р, T_рн – соответственно текущая температура в рубашке и температура поступающей из сети воды, °С;

v_р – объемная скорость подачи воды в рубашку, м³/с;

F – площадь соприкосновения раствора и стенки реактора, м²;

K_Т – коэффициент теплопередачи от воды в рубашке к раствору в реакторе, Вт/(м²·K);

(T – T_р) – разность температур в реакторе и в рубашке °С.

Дополним полученную систему уравнением для изменения объема реакционной смеси:

 (2.9)

Чтобы упростить моделирование, примем теплоемкость смеси в реакторе приблизительно равной теплоемкости воды. Строго говоря, теплоемкость в данном процессе зависит от концентрации желатины и исходных веществ в растворе и является величиной переменной. Однако концентрация исходного раствора желатины невелика, и в дальнейшем при добавлении новых порций реагентов она изменяется незначительно.

Преобразуем (2.7) и (2.8), учитывая, что объем смеси в реакторе является величиной переменной, а объем рубашки – величина постоянная:,(2.10)

. (2.11)

Совокупность уравнений (2.9) – (2.11) представляет собой математическую модель динамики объекта, в которой выходной величиной служит температура в реакторе, а входными – температуры и расходы входящих потоков реагентов, температура и расход теплоносителя на входе в рубашку.

Следует отметить, что, как и в случае модели, описанной в пункте (2.1), данная модель не является линейной. В дифференциальном уравнении (2.10) многие коэффициенты перед переменными не являются величинами постоянными, а, в свою очередь, зависят от других параметров системы и от начальных условий.

Для получения переходных характеристик температурного режима и последующей линеаризации используем пакет Simulink. На рисунке 2.5 показана схема модели.

Рисунок 2.5 – Тепловая модель объекта

В модели все величины указаны в системе СИ. При моделировании было учтено, что площадь теплопередачи является величиной переменной и равна площади соприкосновения раствора со стенкой аппарата.

Для установления начальных условий для величин использовались данные из пункта 1.2. Начальный объем реакционной смеси принят 0.2 л. Номинальные расходы реагентов приняты соответствующими номинальному режиму для пункта 2.1. Температура воды на входе в рубашку принята 80 °С.

Для вычисления площади теплообмена были использованы следующие соображения. Дно аппарата представляет собой эллипсоид вращения, т.е эллипсоид с двумя равными полуосями (см. рисунок 2.6).

Рисунок 2.6 – Конструкция аппарата

Численные значения длин полуосей: a = 0.15 м, b = 0.4 м.

Известно, что в начальный момент объем смеси составлял 0.2 л. Этот объем можно представить условно как сумму двух объемов: в эллиптической части аппарата (до уровня h₀ = a) – V_э, и в цилиндрической части (h_доп) – V_ц. Для того, чтобы рассчитать начальное условие F₀, нужно, очевидно, знать h_доп. Общий объем:

V₀ = V_э + V_ц

Объем V_э найдем как следствие из формулы объема эллипсоида:

,

откуда V_э = 0.05 м³. Тогда V_ц = 0.15 м³. Учтем, что этот объем вычисляется по формуле:

,

откуда легко найти, что h_доп = 0.3 м.

В свою очередь, начальное условие для площади можно записать в аналогичном виде:

F₀ = F_э + F_ц.

Для вычисления F_э воспользуемся уравнением эллипса. Площадь поверхности эллипсоида найдем как площадь фигуры, полученной путем вращения одной половины эллипса вокруг оси. Уравнение эллипса:

 , (2.12)

формула для нахождения площади:

. (2.13)

Выразим из (2.12) y и подставим в (2.13). Преобразуем полученное выражение, учтя, что a < b. В результате получаем:

.

Данный интеграл берется с помощью тригонометрической подстановки

, .

Пропустив промежуточные выкладки, приведем конечный результат:

. (2.14)

Для вычисления F_ц воспользуемся формулой:

. (2.15)

Проведя вычисления по формулам (2.14) и (2.15), найдем начальное условие для площади теплообмена F₀ = 1.381 м².

Чтобы вычислить площадь теплообмена как функцию времени, воспользуемся следующими соображениями. За некоторое малое время Δt при подаче реагентов в реактор уровень в нем повысится на некоторую малую величину Δh. При этом площадь теплообмена и объем тоже получат приращения:

; .

Выразив из второго выражения Δh и подставив его в первое, получим:

.

Устремляя Δt к нулю и интегрируя, получим:

. (2.16)

Величина dV₁ легко выражается из (2.9).

Для нахождения коэффициента теплопередачи воспользуемся формулой:

 , (2.17)

в которой приняты следующие обозначения:

α₁ – коэффициент теплоотдачи от воды в рубашке к стенке рубашки;

δ_руб – толщина стенки рубашки;

λ_руб – коэффициент теплопроводности стенки рубашки;

δ_реак – толщина стенки реактора;

λ_реак – коэффициент теплопроводности стенки реактора;

α₂ – коэффициент теплоотдачи от стенки реактора к реакционной смеси.

Для вычисления α₁ воспользуемся критерием Нуссельта, характеризующим конвективный теплообмен между жидкостью и поверхностью твердого тела:

, (2.18)

где λ – коэффициент теплопроводности теплоносителя;

d – определяющий размер.

Здесь в качестве определяющего размера необходимо принять эквивалентный диаметр трубы, обладающей таким же сечением, что и пространство внутри рубашки. Внутренний диаметр реактора 0.8 м, наружный – 0.9 м, толщина стенок рубашки и реактора – 0.006 м. Вычислив площадь кольца, найдем диаметр эквивалентной трубы: d=0.36 м. Коэффициент теплопроводности воды λ = 65.9 Вт/(м²·K). Для нахождения критерия Nu определим характер течения жидкости в рубашке. Это можно сделать, рассчитав критерий Рейнольдса по формуле:

 , (2.19)

где ω – линейная скорость движения жидкости в трубе;

d – определяющий размер;

ν – кинематическая вязкость среды.

Приняв расход воды 1.5·10^-4 м³/с, диаметр подводящей трубы 20 мм, рассчитаем линейную скорость воды в рубашке при максимальном напоре: ω = 0.5 м/с. Кинематическую вязкость при температуре 80 °С примем равной 0.478·10^-6 м²/с. Из (2.19) получаем Re = 14000. Следовательно, режим течения – турбулентный. Поэтому критерий Нуссельта вычисляется по формуле [3, с.160]:

. (2.20)

Проведя вычисления по этой формуле, получаем Nu_жd = 89.7. Подставив полученное значение в (2.18), получаем α₁ = 16417 Вт/(м²·K).

Количественно определить характер движения жидкости в реакторе сложнее, т.к. присутствует мешалка. Можно предположить, что характер движения – турбулентный, обусловленный интенсивным перемешиванием. Среда в реакторе представляет собой сильно разбавленный водный раствор желатины и солей щелочных металлов, поэтому приближенно принимаем условия теплоотдачи от стенки реактора аналогичными условиям теплоотдачи в рубашке и считаем, что α₂ = α₁ = 16000 Вт/(м²·K).

Второе и третье слагаемые в знаменателе (2.17) равны, т.к. толщина стенок реактора равна толщине стенок рубашки – 6 мм. Стенки рубашки и реактора сделаны из стали 12Х18Н10Т, ее коэффициент теплопроводности λ = 16.88 Вт/(м·K).

Подставив все полученные величины в (2.17), получим, что K_Т = 1200 Вт/(м²·K).

После всех этих выкладок необходимо получить разгонные кривые объекта по каналам возмущения и управления. В качестве возмущения определим температуру поступающих в реактор исходных веществ, а в качестве управляющего воздействия – расход воды на входе в рубашку.

Для получения передаточной функции по возмущению считаем, что изменение температуры одного из входных растворов на 5 °С является максимальным, т.е соответствует единице в относительном масштабе, а изменение температуры в реакторе на 1 °С соответствует максимальному отклонению выходной величины.

Рисунок 2.7 – Разгонная кривая по возмущению

Видно, что выходная температура изменилась на 2 °С. Следовательно, коэффициент усиления этого звена равен 2. По виду разгонной кривой можно предположить, что это звено можно удовлетворительно описать как инерционное звено 1 порядка. Определив постоянную времени графическим способом (см. рисунок 2.7), получаем, что T ≈ 0.2·10⁴ с ≈ 33 мин.

На основании этого запишем передаточную функцию объекта по второй регулируемой величине – температуре по каналу возмущения:

(2.21)

Для получения передаточной функции по управлению считаем, что подача в рубашку воды из магистрали с расходом 1.5·10^-4 м³/с является максимальной, т.е. соответствует единице в относительном масштабе, а изменение температуры в реакторе на 1 °С по-прежнему соответствует максимальному отклонению выходной величины.

Рисунок 2.8 – Разгонная кривая по управлению

Видно, что выходная температура изменилась на 20 °С. Следовательно, коэффициент усиления этого звена равен 20. По виду разгонной кривой можно предположить, что это звено можно удовлетворительно описать как инерционное звено 2 порядка.

 (2.21)

Найдем постоянные времени этого звена аналитическим методом. Для этого воспользуемся тем, что полученная переходная функция удовлетворяет дифференциальному уравнению, описывающему наше звено:

. (2.22)

Предположим, что для функции h(t) известно аналитическое выражение. Тогда необходимо найти такие значения T₁ и T₂, при которых равенство (2.22) выполнялось бы наиболее точно. Это можно сделать, если составить так называемую функцию невязки, т.е. критерий, характеризующий отклонение левой части (2.22) от нуля. Если такая функция будет являться положительной и будет иметь единственный экстремум, являющийся одновременно ее минимумом, то, найдя его, можно будет считать задачу выполненной.

В теории оптимизации доказывается, что в качестве описанного критерия может использоваться такая функция:

. (2.23)

Здесь в качестве верхнего предела интегрирования взято время окончания переходного процесса. Эта функция обладает рядом неплохих свойств, и одно из них – то, что необходимые условия минимума для этой функции являются и достаточными. Из этого следует, что, приравняв ее частные производные по T₁ и T₂ к нулю, мы достоверно получим искомую оптимальную точку. Кроме того, после нахождения частных производных мы получаем линейную систему уравнений относительно T₁ и T₂².

Для нахождения аналитического выражения переходной функции можно воспользоваться любым из методов приближения функций, однако мы предпочтем метод наименьших квадратов. Составив по рисунку 2.8 таблицу значений неизвестной функции, аппроксимируем ее полиномом 4-й степени. Текст программы аппроксимации приведен в приложении А. Был получен следующий результат:

На основе (2.23) была получена система линейных уравнений следующего вида:

Ее коэффициенты вычисляются по следующим формулам:

Решив (2.25), нашли, что T₁ = 22.6 мин, T₂ = 8.38 мин.