Навигация
1.2 Продолжаемость
В последнем разделе была построена простая модель задачи обработки решетки: если даны некоторые корреляционные измерения и спектральная основа, получить спектральную оценку. Естественно использование известной информации о спектре для ограничения спектральной оценки требованием того, чтобы она была согласована с измеренными корреляциями, положительной и ограниченной спектральной основой. Такие, спектральные оценки называются спектральными оценками согласованными с корреляцией.
Исследование спектральных оценок, согласованных с корреляцией подымает фундаментальный вопрос о существовании. Если задана, конечная совокупность измеренных корреляций и спектральная основа, то существует ли по крайней мере одна согласованная с корреляцией спектральная оценка ? Если такая спектральная оценка существует, то о измеренных корреляциях говорят, что они продолжаемы. /Корреляционная функция, полученная посредством обратного преобразования Фурье согласованной с корреляцией спектральной оценки, является подходящим продолжением корреляционных измерений на все пространственные разделения/. После некоторых необходимых математических определений мы получим ответ на вопрос о существовании путем характеризации множества продолжаемых корреляционных измерений.
1.2.1 Спектральные основы и совместные множества
Вначале необходимо определить более тщательно термины спектральная основа и совместное множество. Предполагается, что спектральная основа К является компактным подмножеством , т.е. К замкнуто и ограничено. Предположение относительно компактности К приводит к некоторым техническим преимуществам: непрерывная функция на компактном множестве достигает своей нижней и верхней грани. Кроме того, компактность должна всегда содержаться в физической задаче. Как обсуждалось в предыдущем разделе, знание источника, среды и характеристик датчиков может быть использовано для построения соответствующей спектральной основы.
Совместное множество будет определяться, как конечное подмножество со свойствами
I / 0;
II / если
III / является множеством линейно независимых функций на .
Условие I/ подразумевает знание r(0) полной мощности в спектре. Условие II/ отражает тот факт, что корреляционная функция всегда сопряжено симметрична; так, если известна, то известна и . Условия I/ и II/ совместно подразумевают, что имеет вид
(3.1)
Условие II/ гарантирует, что корреляционные измерения независимы; каждое измерение дает новую информацию о спектре.
Если D > 1 , то задача спектральной оценки является многомерной. Если и то задача спектральной оценки является известным случаем временной последовательности и вопрос продолжаемости сводится к известной задаче тригонометрических моментов [9].
1.2.2 Сопряженно-симметричные функции и их векторное представление
Спектральная основа и совместное множество естественно предполагает ситуацию векторного пространства для задачи спектральной оценки, в которой сопряженно-симметричные комплекснозначные функции на будут играть центральную роль. Сопряженно-симметричная функция f на является функцией, для которой при всех . Корреляционные выборки, из которых должны образовываться спектральные оценки, являются такими функциями. /Благодаря этой симметрии многие из нижеследующих выражений являются вещественными, хотя они, ради простоты, были записаны в виде, который предполагает, что они могут быть комплексно-значными/. Совместное множество имеет 2М + I элемент и таким образом сопряженно-симметричная функция на характеризуется посредством 2М + I независимыми вещественными числами. Так, сопряженно-симметричная функция на может рассматриваться как вектор в . /Векторное пространство над вещественными числами выбирается потому, что только умножение на вещественное число, переводит корреляционную функцию в другую корреляционную функцию/. Будут использоваться как функциональное обозначение так и векторное f.
Поскольку является линейно-независимым ìíîæåñòâîì функций на K, то отсюда следует, что каждый вектор p â может быть единственным образом связан ñ вещественно-значным -полиномом P(k) íà Ê посредством соотношения
(3.2)
Вектор будет называться положительным, если на К. Р будет обозначать множество этих векторов, связанных с положительными -полиномами. Из компактности К, как можно показать, следует, что Р является выпуклым конусом с вершиной в начале координат. /Множество С является конусом с вершиной в начале координат, если подразумевает для всех [10]. Конусы являются важными видами множеств в задаче спектральной оценки, поскольку только умножение на положительные вещественные числа переводит корреляционную функцию в другую корреляционную функцию, а -полином в другой -полином./
Внутреннее произведение вектора r корреляционных выборок и вектора р полиномиальных коэффциентов будет определяться как
(3.3)
Это внутреннее произведение дает возможность по новому записать -полином: , где обозначает вектор с компонентами . Отметим также, что если , то , что cooтветствует выражению соотношению Парсеваля.
Похожие работы
... быть использована в качестве присадочного материала при подготовке осадка к обезвоживанию. Это позволяет снизить расход химических реагентов. Проектирование новых и реконструкцию существующих комплексов для обработки осадков на очистных станциях и установках рекомендуется выполнять применительно к унифицированным производительностям очистных установок и станций, а также к местным условиям и ...
... педагогические условия и приемы, обеспечивающие их коррекцию путем переструктурирования мотивационной сферы личности и расширения у студентов взаимосвязей учебно-профессиональных и физкультурных мотивов. Существенной особенностью данного исследования было использование метода репертуарных решеток, что позволило изучать у студентов мотивы и их структуры, максимально приближенные к независимой от ...
... (в фазе трех-пяти листьев у сорняков). При использовании гербицидов количество механических операций можно сократить. Обработку гербицидами начинают за З-4 дня до появления всходов. В интенсивной технологии возделывания картофеля важное мecтo занимает окучивание. Задача окучивания – не только удаление сорняков, рыхление почвы вокруг растений и создание лучших условий для клубнеобразования, но ...
... перемещений лежит от долей микрона до нескольких миллиметров. Голографическая интерферометрия и спекл-интерферометрия являются двумя широкими областями, используемыми для обнаружения перемещений методами когерентной оптики. Кратко рассмотрим каждую из них, чтобы иметь возможность сравнивать их между собой. Голографическая интерферометрия основывается на достоинстве голографии (т. е. возможности ...
0 комментариев