Навигация
Функции спектральной плотности мощности
69425
знаков
2
таблицы
0
изображений
1.3.1 Функции спектральной плотности мощности
Многие методы спектральной оценки представляют спектр мощности не как меру, а в виде функции спектральной плотности. Это ведет к модификации задачи продолжимости: если задана фиксированная положительная конечная мера , которая определяет интеграл
(3.9)
то какие корреляционные векторы могут быть произведены от некоторой строго положительной функции ? При одном дополнительном ограничении на , которое легко удовлетворяется на практике, модно показать, что векторы, которые могут быть представлены таким образом, являются векторами, находящимися во внутренней части Е. Кроме того, можно показать, что любой век
тор во внутренней части Е может быть представлен в форме /3.9/ для некоторой непрерывной, строго положительной .
Теорема продолжимости для функций спектральной плотности:
Если каждое соседство каждой точки в К имеет строго положительную -меру, то
1/если равномерно ограничена относительно нуля по К,
то
;
2/если , то
для некоторой непрерывной, строго положительной функции .
Доказательство этой теоремы содержится в Приложении А.
1.3.2 Дискретизация спектральной основы
Многие представляющие интерес спектральные основы содержат бесконечное число точек. Эти спектральные основы следует часто аппроксимировать в вычислительных алгоритмах посредством конечного числа точек. Поэтому важно понимать эффекты такой аппроксимации.
Рассмотрим дискретную спектральную основу
(3.10)
Мера на дискретной основе полностью характеризуется ее значением в каждой точке. Итак, обратный интеграл -Фурье сводится к конечной сумме
(3.11)
Аналогично, для санкций спектральной плотности
(3.12)
Мера может считаться определяющей квадратурное правило для интегралов по спектральной основе.
Из определений продолжимых векторов корреляции и положительных полиномов можно заметить, что, если спектральная основа образуется посредством выбора конечного числа- точек из некоторой исходной спектральной основы, то новое множество Е является выпуклым многогранником, вписанным внутрь исходного множества Е, а новое множество Р является выпуклым многогранником, описанный вокруг первоначального множества Р. Следовательно, новое Е меньше исходного Е, а новое Р больше исходного Р. Достаточно плотная выборка исходной спектральной основы приведет к многогранникам, которые аппроксимируют исходные множества с произвольной точностью. Например, на рис.5 показан эффект аппроксимации спектральной основы четырьмя выборками для . Исходные конусы Е и Р имеют круговое поперечное сечение при , как показано на рис.3. Конусы, соответствующие выборочной основе имеют /оба/ квадратное поперечное сечение. Границы новых и старых конусов пересекаются у векторов, соответствующих точкам выборки.
1.4 Метод Писаренко
Писаренко описал метод спектральной оценки временной последовательности, в котором спектр моделируется в виде суммы импульсов штос компонента белого шума [5]. Если компонента белого шума выбирается настолько большой, насколько это возможно, то, как он показал, положение и амплитуды импульсов, необходимые для согласования измеренных корреляций, определяются единственным образом. Метод Писаренко будет выведен для более обшей ориентации ИП и для более общей шумовой компоненты. Связь метода Писаренко с вопросом продолжимости будет продемонстрирована.
Продолженная оценка Писаренко будет получена как решение задачи оптимизации, включающей минимизацию линейного функционала над выпуклой областью, определенной линейными ограничениями.
Решение этой задачи оптимизации существует всегда, но оно может быть не единственным. Получается задача двойственной' оптимизации, которая для случая временных последовательностей приводит к знакомой интерпретации метода Писаренко в виде разработки сглаживающего фильтра с ограничениями по методу наименьших квадратов. И опять, решение этой двойственной задачи существует всегда, но может быть не единственным.
Рассматриваются алгоритмы для вычисления по методу Писаренко. Основная задача оптимизации записывается, для спектральной основы, состоящее из конечного числа точек, в воде линейной программы стандартного вида. Рассматривается применение симплекс-метода для решения этой основной линейной программы. Представлена двойственная линейная программа. Рассматриваются также возможность создания вычислительных алгоритмов, более быстрых, чем симплекс-метод.
1.4.1 Метод Писаренко для решеток датчиков
Основой метода Писаренко является однозначное разложение /рис.6/ корреляционного вектора на сумму масштабированного вектора корреляции шума , во внутренней части Е, и остаток на границе Е
(4.1)
Допущение о том, что находится в подразумевает, что такое разложение произвольного вектора существует и единственно. Рассмотрим однопараметрическое семейство корреляционных векторов
(4.2)
Для достаточно положительного не должен быть продолжаемым, а для достаточно отрицательного должен быть продолжимым, так как допущение, что подразумевает, что Е содержит окрестность . Выпуклость Е означает, что имеется некоторое наибольшее число , такое, что является продолжимым. Поскольку имеются произвольно близко к непродолжимые векторы, должен быть на границе Е. Кроме того, поскольку тогда и только тогда, когда продолжим, это разложение может 'быть использовало в качестве теста продолжимости.
Это однозначное разложение может быть сформулировано в виде основной задачи линейной оптимизации на всех положительных спектрах мощности. Отметим, что имеет по крайней мере , одно положительное спектральное представление и, что из /4.1/ для следует
(4.3)
Утверждение того, что является наибольшим числом, так что остаток продолжаем, приводит к линейной задаче оптимизации
(4.4з)
так что
(4.45)
Максимум равен и он достигается .
Поскольку продолжаемо, оно соответствует некоторой положительной мере . Следовательно /4.1/ принимает вид
(4.5)
Если , то является положительной мерой, которая согласует корреляционные измерения и которая имеет наиболее возможную шумовую компоненту.
Некоторая дополнительная информация относительно остатка и его спектрального представления может быть получена. находится на границе Е; следовательно, он дает нулевое внутреннее произведение с некоторым ненулевым положительным полиномом
(4.6)
Из этого следует, что основа должна быть на нулевом множестве . Или более точно, основа любого спектрального представления должна быть на пересечении нулевых множеств всех положительных полиномов, которые образуют нулевое внутреннее произведение с . Это предполагает окончательный шаг в выводе метода Писаренко; а именно, объединение остатка с импульсным спектром. ^ .
Тот факт, что целевой функционал основной задачи оптимизации не является строго выпуклым, допускает, что решение не может в общем случае быть единственным. Решение основной задачи оптимизации всегда единственно тогда и только тогда, когда корреляционный вектор на границе Е имеет единственное спектральное представление. В случае временной последовательности каждый такой имеет единственное спектральное представление, как сумма М или меньшего числа импульсов[5].
Пример 4.1: Случай временной последовательности, . Как и в примере 3.1, каждый положительный полином может быть факторизован в виде для некоторого тригонометрического полинома М-той, степени и следовательно могут быть равными нуля не более, чем в М точках. Спектр , следовательно, должен быть суммой импульсов в этих точках. Кроме того, поскольку возможно построить положительный полином, который равен нулю в произвольно выбранных точках и нигде больше, то отсюда следует, что имеет единственное спектральное представление в виде суммы импульсов в общих нулях всех положительных полиномов так что .
В более широком смысле, теорема продолжимости совместно с теоремой Каратеодори [16] показывает, что имеется по крайней мере одно спектральное представление в виде суммы не более чем 2М импульсов.
Теорема представления: Если , то существует и , так что
(4.7)
Доказательство теоремы представления можно найти в Приложении В. Это представление и, таким образом, решение основной задачи оптимизации могут быть не единственными. Дальнейшее обсуждение этой проблемы единственности можно найти в Приложений С.
Если и местоположения импульсов в единственном решении могут быть определены для данного , то амплитуды импульсов могут быть вычислены просто путем решения набора линейных уравнений. А сейчас мы получим двойственную задачу оптимизации, которая дает и , так что . Тогда, если имеет единственное спектральное представление, местоположения импульсов могут быть определены по нулям . Из теоремы продолжимости следует
(4.8)
Так как и , то отсюда следует, что и для всех . Кроме того, так как для некоторого , то отсюда следует, что
(4.9а)
на множестве
(4.9b)
и минимум достигается при . Решение этой двойственной задачи может не быть единственным даже в случае временной последовательности, когда она сводится к задаче собственного вектора, полученной Писаренко, и приводит к интерпретации метода Писаренко в виде определения сглаживающего фильтра с ограничениями по методу наименьших квадратов.
Пример 4.2 : Случай временной последовательности, . Как в примере /3.1/
.
Кроме того, если соответствует белому шуму единичной мощности,
.
Таким образом, двойственная задача оптимизации сводится к нахождению собственного вектора теплицевой матрицы, связанного с , соответствующего наименьшему собственному значению. Если имеется несколько таких собственных векторов, импульсы располагаются в общих нулях соответствующих полиномов. Любой нормированный собственный вектор, соответствующий минимальному собственному значению, дает коэффициенты сглаживающего фильтра, сумма квадратов величин которых ограничена единицей, что дает наименьшую выходную мощность при наличии входного процесса, корреляции которого описываются [17].
Похожие работы
... быть использована в качестве присадочного материала при подготовке осадка к обезвоживанию. Это позволяет снизить расход химических реагентов. Проектирование новых и реконструкцию существующих комплексов для обработки осадков на очистных станциях и установках рекомендуется выполнять применительно к унифицированным производительностям очистных установок и станций, а также к местным условиям и ...
... педагогические условия и приемы, обеспечивающие их коррекцию путем переструктурирования мотивационной сферы личности и расширения у студентов взаимосвязей учебно-профессиональных и физкультурных мотивов. Существенной особенностью данного исследования было использование метода репертуарных решеток, что позволило изучать у студентов мотивы и их структуры, максимально приближенные к независимой от ...
... (в фазе трех-пяти листьев у сорняков). При использовании гербицидов количество механических операций можно сократить. Обработку гербицидами начинают за З-4 дня до появления всходов. В интенсивной технологии возделывания картофеля важное мecтo занимает окучивание. Задача окучивания – не только удаление сорняков, рыхление почвы вокруг растений и создание лучших условий для клубнеобразования, но ...
... перемещений лежит от долей микрона до нескольких миллиметров. Голографическая интерферометрия и спекл-интерферометрия являются двумя широкими областями, используемыми для обнаружения перемещений методами когерентной оптики. Кратко рассмотрим каждую из них, чтобы иметь возможность сравнивать их между собой. Голографическая интерферометрия основывается на достоинстве голографии (т. е. возможности ...
0 комментариев