Навигация
Характеристики продолжаемости
69425
знаков
2
таблицы
0
изображений
1.2.3 Характеристики продолжаемости
Пусть Е обозначает множество продолжаемых векторов корреляции. То есть , если
(3.4)
для некоторой положительной меры на К. Из свойств интеграла следует, что, Е является замкнутым выпуклым конусом с вершиной в начале координат. Кроме того, сечение по Е при :
(3.5)
является выпуклой оболочкой компактного множества
(3.6)
является выпуклой оболочкой компактного множества
Итак, Е - замкнутый выпуклый конус с вершиной в начале координат, генерируемой посредством А. Эта характеристика продолжаемой корреляция аналогична той, которую дал первоначально Каратеодори в 1907 году для задачи тригонометрических моментов [I]. Важность этого состоит в том, что множество продолжаемых векторов корреляции описывается в терминах простого множества А. Это дает также ясную геометрическую картину продолжаемости и будет полезно в доказательствах.
Вторая характеристика продолжаемости, которая является более полезной при разработке методов спектральной опенки, происходит из того факта, что Е выражается в виде пересечения всех замкнутых полупространств, содержащих его [10]. Эта характеристика включает дуальность, так как полупространства определяются линейными функционалами, т.е. элементами дуального пространства. Замкнутое полупространство определяется посредством вектора q, и вещественного числа с в виде множества
(3.7)
Чтобы определить отдельные полупространства, содержащие Е, достаточно рассмотреть те корреляционные векторы, которые генерируют Е : положительные кратные векторов во множестве А. Замкнутое полупространство содержит Е тогда и только тогда, когда для каждого и каждого . Поскольку можно сделать произвольно большой, должно быть истинным то, что , т.е. q - член конуса Р. Наименьшее полупространство, содержащее Е для такого q соответствует выбору с = 0. Итак,
(3.8)
или, словами, следующее.
Теорема о продолжимости : .вектор является продолжимым тогда и только тогда, когда для всех положительных p.
Таким образом, положительные полиномы естественно имеют место в задаче продолжаемости, поскольку они определяют гиперплоскости основы множества Е продолжаемых векторов корреляции. На языке функционального анализа теорема о продолжимости, которая является видом леммы Фаркаша [11], просто констатирует, что Е и Р - положительные сопряженные конусы.[10]. Эта теорема имеет важное следствие относительно перемещения простой характеристики Р, в терминах положительности, на характеристику Е. Хотя введение спектральной основы в рассматриваемую задачу является новым, по существу та же характеристика продолжимости была первоначально использована Кальдероном и Пепинским [l2], и Рудиным [l3].
Рисунок 4 демонстрирует зависимость Е от спектральной основы. Существуют две точки зрения на эту зависимость. Прямая точка зрения отмечает тот факт, что Е является выпуклым конусом, генерированным А; поскольку К уменьшилось, А сжалось и Е теперь меньше, чем на рис.3. Косвенная точка зрения включает ограничения; множество К ограничивает множество Р посредством условия о положительности, а множество Р ограничивает множество P посредством теоремы продолжимости. Итак, когда К сжимается, Р растет, и Е сжимается.
Для случая временной последовательности теорема о продолжимости сводится к тесту положительной определенности теплицевой матрицы, образованной из корреляционных выборок. Следовательно, о продолжимости можно говорить как об общем аналоге положительной определенности.
Пример 3.1 : Случай временной последовательности; D=1, .B этом случае, проблема продолжимости сводится к проблеме тригонометрических моментов [9]. Хотя это и не справедливо в общем случае, для случая временной последовательности, как следует из фундаментальной теоремы алгебры, положительный полином может быть факторизован в виде квадрата модуля М-той степени тригонометрического полинома
.
Внутреннее произведение становится теплицевой формой в коэффициентах
Таким образом, требование того, чтобы внутреннее произведение было положительным для всех полиномов сводится к требованию положительной определенности теплицевой формы, соответствующей корреляционным измерениям.
1.3 Граница и внутренняя часть
Необходимо будет делать различие между границей и внутренней частью множеств Е и Р. Рассмотрение метода Писаренко в разделе 17, к примеру, включает векторы на границах Е и Р. Векторы во внутренней части Е и P являются важными тогда, когда затрагиваются пункции спектральной плотности, как например, в методе спектральной опенки по способу максимальной энтропии [l4].
Граница замкнутого множества состоит из тех членов, которые находятся произвольно близко к некоторому вектору снаружи множества. Внутренняя часть замкнутого множества состоит из тех членов, которые не находятся на границе. .
Граница и внутренняя часть конечного измеримого множества не зависит от частного выбора нормы вектора [15]. Кроме того, поскольку Р и Е являются выпуклыми множествами, особенно просто охарактеризовать их внутренний части и границы.
Граница Р, обозначаемая , состоит из тех положительных полиномов, которые равны нулю для некоторых . Внутренняя часть Р, обозначаемая , состоит из тех полиномов, которые строго положительны на К.
Положительные полиномы могут быть использованы для определения границы и внутренней части Е. Граница Е, обозначаемая , состоит из тех продолжимых корреляционных векторов, которые превращают в нуль внутреннее произведение с некоторым ненулевым положительным полиномом. Внутренняя часть Е, обозначаемая , состоит из тех корреляционных векторов, которые делают строго положительными внутренние произведения с каждым ненулевым положительным полиномом.
Похожие работы
... быть использована в качестве присадочного материала при подготовке осадка к обезвоживанию. Это позволяет снизить расход химических реагентов. Проектирование новых и реконструкцию существующих комплексов для обработки осадков на очистных станциях и установках рекомендуется выполнять применительно к унифицированным производительностям очистных установок и станций, а также к местным условиям и ...
... педагогические условия и приемы, обеспечивающие их коррекцию путем переструктурирования мотивационной сферы личности и расширения у студентов взаимосвязей учебно-профессиональных и физкультурных мотивов. Существенной особенностью данного исследования было использование метода репертуарных решеток, что позволило изучать у студентов мотивы и их структуры, максимально приближенные к независимой от ...
... (в фазе трех-пяти листьев у сорняков). При использовании гербицидов количество механических операций можно сократить. Обработку гербицидами начинают за З-4 дня до появления всходов. В интенсивной технологии возделывания картофеля важное мecтo занимает окучивание. Задача окучивания – не только удаление сорняков, рыхление почвы вокруг растений и создание лучших условий для клубнеобразования, но ...
... перемещений лежит от долей микрона до нескольких миллиметров. Голографическая интерферометрия и спекл-интерферометрия являются двумя широкими областями, используемыми для обнаружения перемещений методами когерентной оптики. Кратко рассмотрим каждую из них, чтобы иметь возможность сравнивать их между собой. Голографическая интерферометрия основывается на достоинстве голографии (т. е. возможности ...
0 комментариев