ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ОТКРЫТОГО РЕЗОНАТОРА С ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ДИСКОМ, НЕСООСНЫМ С ЗЕРКАЛАМИ [72]

2.2 ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ОТКРЫТОГО РЕЗОНАТОРА С ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ДИСКОМ, НЕСООСНЫМ С ЗЕРКАЛАМИ [72]

При проведении измерений параметров диэлект­рика образец в виде диска часто удобнее расположить несоосно с зеркалами и, в частности, так, чтобы оси резонатора и диска были перпендикулярны (рис. 9.7). Такое расположение диска нарушает осевую симметрию задачи. В общем случае отход от осевой симметрии очень -сильно усложняет решение, поскольку теря­ется основное преимущество систем враще­ния — независимость отдельных азимуталь­ных гармоник полей.

Рис. 9.7. Геометрия открытого резонатора с несоосными зеркалом и диском

Однако в рассматриваемой задаче анализа полей в высокодобротном открытом резонаторе несоосность вносит технические, но не принципиальные затруднения. Действительно, для измерений параметров диэлектрический образец берется небольшим по срав­нению с размерами резонатора. Поэтому его внесение в резона­тор не приводит к переходу к другой моде, а лишь несколько ме­няет добротность и резонансную частоту той моды, которая су­ществовала без диэлектрика. Таким образом, за счет фильтрую­щих свойств резонатора новых азимутальных гармоник не появ­ляется и основная трудность в несоосных системах вращения сни­мается. Надо лишь следить за тем, чтобы на других азимуталь­ных гармониках у пустого резонатора не было поблизости от час­тоты рабочей моды других высокодобротных мод.

Метод решения задачи остается в общих чертах тем же, что и в предыдущем параграфе, но с некоторыми усложнениями. Главное из них — это необходимость введения двух систем ко­ординат вращения: одной, связанной с зеркалами резонатора (ось вращения у}, и второй, связанной с диэлектрическим телом (ось вращения z) (рис. 9.7). Поле, рассеянное диском, не обладает те­перь осевой симметрией по отношению к зеркалам, что сущест­венно затрудняет интегрирование по поверхности зеркал, необхо­димое при применении метода Галеркина.

Рассмотрим теперь этапы решения задачи. Как и ранее, в ме­тоде Галеркина в качестве базиса используются собственные функции пустого резонатора, а точнее, их приближенное пред­ставление в виде гауссова пучка.

Пусть центр диска по-прежнему совпадает с центром резона­тора, а ось его симметрии повернута на 90° по отношению к оси резонатора (см. рис. 9.6). Решение начинается с нахождения азимутальных гармоник падающего по отношению к диску поля и соответствующих ему первичных токов.

Падающее поле вблизи диска выражается функциями (9.54) и (9.56), которые с учетом изменившейся системы координат запишем так:

(9.59)

(9.60)

Положим, что основная поляризация поля в резонаторе . Экви­валентные токи в координатах вращения, связанных с диском, тогда имеют вид:

(9.61)

Здесь, как и в (9.58), использованы обозначения § 3.3. Переход от декартовых к координатам вращения дает

(9.62)

Коэффициенты А, В и D зависят от формы поверхности, на которой находится точка наблюдения. На плоском торце  ( - радиус диска, - его толщина); на цилиндрической поверхности .

Воспользуемся малостью диэлектрического тела по сравнению с размерами резонатора, т. е. учтем, что  или  и . Это позволяет представить экспоненты двумя членами ря­да Тейлора

. (9.63)

После этого токи записываются в виде

(9.64)

Для следующего типа колебаний «10 q» выражения для пер­вичных токов имеют тот же вид, но A₁=3A, D₁=3D, B₁=B. Да­лее поля разлагаются в ряд Фурье. Поскольку тело невелико, можно ограничиться небольшим числом гармоник. Используя формулы для коэффициентов ряда Фурье и интегральное пред­ставление функции Бесселя (9.21), получаем выражения для гар­моник падающих токов. При этом в силу симметрии в случае синфазных токов на зеркалах присутствуют только нечетные гар­моники, что соответствует максимуму поля резонатора в области диска:

(9.65)

Здесь

 .

Переход к отрицательным индексам происходит так же, как и ранее.

После вычисления первичных токов используется алгоритм ре­шения задачи возбуждения тела вращения, основанный на уравнении (3.85). Результат получается в виде распределения азиму­тальных гармоник плотностей эквивалентных токов на поверх­ности диэлектрика.

Далее по этому распределению нетрудно рассчитать рассеян­ное поле всюду и в том числе на поверхности зеркала. Как и в § 9.4, это поле и определяет элементы матрицы однородной СЛАУ (9.48). Расчет ведется в тех же приближениях с учетом изменив­шейся системы координат. В частности, асимптотическая форму­ла для функции  в этих координатах имеет вид

. (9.66)

Существенные затруднения вызывает вычисление интегралов (9.49), определяющих элементы матрицы СЛАУ (9.48).

Интеграл здесь поверхностный, т. е. двойной, и численное ин­тегрирование требует больших затрат времени ЭВМ. Выходом из положения является аналитическое вычисление одного из интег­ралов. Для этого можно воспользоваться тем, что в направлении, перпендикулярном оси (см. рис. 9.7), каждая из азимутальных гармоник рассеянного поля имеет синусоидальную зависимость. Формально удобно вести это интегрирование по декартовой координате  в пределах от  до . Зависимость поля будет синусоидальной только на окружности с центром, сов­падающим с диском¹. Отличие этой окружности от меридиональной линии зеркала учтем только в фазе. Поправочный множитель, как показывает геометрический расчет, имеет вид .

Зависимость поля каждой гармоники от  на зеркале может быть представлена только в числах, поэтому интеграл по  в пределах -  берется численно. Таким путем приходим к интегралу

(9.67)

где  — гиперсфероидальные функции, которые берутся в приближении гауссова пучка, т. е. в виде (9.55) и (9.57).

Формула (9.67) учитывает векторный характер поля. Все рас­четы ведутся в предположении, что основная поляризация в ре­зонаторе  и, следовательно, . В рассеянном поле при исполь­зовании метода Галеркина надо брать ту же поляризацию. Она в координатах вращения, связанных с диском, представляет собой . Интеграл по , как уже говорилось, можно взять аналитичес­ки. Не останавливаясь на подробностях, их можно найти в [72], заметим, что этот интеграл можно свести к неполной гамма-функ­ции. Для вычисления последней имеются быстро сходящиеся ря­ды. Нахождение одномерного интеграла по  численным методом труда не представляет.

Рассмотрим некоторые результаты расчетов. Качественно они такие же, как и в случае шара (§ 9.3). С ростом действительной части диэлектрической проницаемости  диска растет смещение частоты (рис. 9.8,а). Мнимая часть , т. е. , на эту величину влияет слабо. Изменение обратной величины к добротности  также увеличивается с ростом  за счет рассеяния на диске. Мнимая часть проницаемости заметно влияет 'на изме­нение добротности только при , когда омические потери в образце соизмеримы с потерями резонатора за счет рассеяния на диске (рис. 9.8,6).

¹ Окружность показана на рис. 9.7 тонкой линией

Рис. 9.8. Сдвиг резонансной частоты и изменение добротности открытого ре­зонатора с диском как функция  диска

Рис. 9.9 Изменение добротности открытого резонатора с диском как функция  диска

Рис. 9.10. Сравнение параметров резонатора с диэлектрическим шаром и диском

К тому же выводу приходим, рассматривая параметр  как функцию  для различных значений . Видно, что с увеличением  кривая становится все более пологой и извлечение информация об  диэлектрического образца становится все более проблема­тичным (рис. 9.9).

Если считать, что 10%-ная доля омических потерь еще раз­личима на фоне потерь на рассеяние, то в области  можно измерить  порядка , а при  только величины .

Таким образом, методом открытого резонатора можно измерять потери только очень плохих диэлектриков. Расчет связи параметров диэлектрика и характеристик резонатора для шара все же проще, чем для диска. Поэтому встает вопрос, нельзя ли установить соответствие между образцами в форме шара и диска. В качестве параметра соответствия естественно взять объем диэлектрического образца. С этой целью были рассчитаны смещения собственной частоты и изменение обратной величины добротнос­ти для шара и диска с одинаковым объемом. Оказалось (рис. 9.10), что эти зависимости, качественно одинаковые, количествен­но различаются заметно. Поэтому для получения приемлемой точности измерений необходимо тарировочные кривые строить на ос­нове адекватной математической модели.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ, ПЕРСПЕКТИВЫ

Метод интегральных уравнений в электродинами­ке появился сравнительно недавно и быстро завоевал популяр­ность. Этому способствовал целый ряд его преимуществ: простота метода и, следовательно, его доступность; единство подходов к ре­шению весьма широкого круга задач; удобство реализации в ви­де вычислительных программ алгоритмов, на нем основанных, и, наконец, высокая степень универсальности.

Остановимся на указанных чертах метода несколько подробнее. Единство подходов к большому кругу задач означает, как видно из гл. 2 и 3, что интегральные уравнения, эквивалентные различным граничным задачам электродинамики, составляются по одному и тому же стереотипу. При этом для задач на телах вращения нет необходимости проходить стадию уравнений для произвольных тел. Истокообразные представления (3.8) и (3.9) вместе с формулами для элементов тензорной функции Грина поз­воляют" легко и быстро, примерно так же как из крупных блоков строят дома, составлять необходимые уравнения.

Те же «крупные блоки» в виде подпрограмм для -функции для элементов тензора Грина и решения систем линейных алге­браических уравнений позволяют достаточно быстро и просто компоновать программы для всех сформулированных в книге за­дач и для многих других. Те же подпрограммы дают возможность после численного решения уравнений найти поле в любой точке пространства.

Похожие работы

Реконструкция участка обработки осадков очистной станции канализации г. Челябинска

Скачать

157522

16

14

... быть использована в качестве присадочного материала при подготовке осадка к обезвоживанию. Это позволяет снизить расход химических реагентов. Проектирование новых и реконструкцию существующих комплексов для обработки осадков на очистных станциях и установках рекомендуется выполнять применительно к унифицированным производительностям очистных установок и станций, а также к местным условиям и ...

Использование метода репертуарных решеток в целях коррекции профессиональных мотивов у студентов технических вузов

Скачать

28594

0

0

... педагогические условия и приемы, обеспечивающие их коррекцию путем переструктурирования мотивационной сферы личности и расширения у студентов взаимосвязей учебно-профессиональных и физкультурных мотивов. Существенной особенностью данного исследования было использование метода репертуарных решеток, что позволило изучать у студентов мотивы и их структуры, максимально приближенные к независимой от ...

Технология возделывания картофеля

Скачать

83822

13

0

... (в фазе трех-пяти листьев у сорняков). При использовании гербицидов количество механических операций можно сократить. Обработку гербицидами начинают за З-4 дня до появления всходов.  В интенсивной технологии возделывания картофеля важное мecтo занимает окучивание. Задача окучивания – не только уда­ление сорняков, рыхление почвы вокруг растений и создание лучших условий для клубнеобразования, но ...

Анализ и моделирование методов когерентной оптики в медицине и биологии

Скачать

105404

0

19

... перемещений лежит от долей микрона до нескольких миллиметров. Голографическая интерферометрия и спекл-интерферометрия являются двумя широкими областями, используемыми для обнаружения перемещений методами когерентной оптики. Кратко рассмотрим каждую из них, чтобы иметь возможность сравнивать их между собой. Голографическая интерферометрия основывается на достоинстве голографии (т. е. возможности ...