Кинематический вывод преобразований Лоренца

4.11. Кинематический вывод преобразований Лоренца

Приступим теперь к кинематическому выводу преобразований Лоренца. Объектом нашего рассмотрения будет так называемое мгновенное точечное событие, т.е. событие, происходящее в очень малом месте пространства и за очень короткий промежуток времени. Например, из некоторой точки N в фиксированный момент времени t = t₀ испустим импульсную сферическую бесконечно тонкую световую волну.

Уточняем - испускаем не периодическую гармоническую волну, а очень короткий световой импульс. Испускание светового импульса в момент времени t = t₀в точке N и есть пример мгновенного точечного события. Разумеется, мгновенные точечные события могут быть какие - угодно.

Приведем еще один пример. Твердый стержень AB пусть движется в положительном направлении оси x.

Мгновенным точечным событием теперь можно считать событие, заключающееся в совпадении, например, левого конца A стержня с фиксированной точкой N оси x. Другим мгновенным точечным событием является совпадение в какой-то момент времени правого конца B с фиксированной точкой M на оси x.

Теперь, одно и то же какое-нибудь мгновенное точечное событие будем изучать с помощью наблюдений его в двух инерциальных системах отсчета K и K', или в двух системах координат, движущихся равномерно и прямолинейно относительно друг друга - «покоящейся» системы К и «движущейся» системы K', - движущейся со скоростью u вдоль оси x относительно покоящейся системы отсчета, причем в обеих этих системах координат размещены локальные часы, синхронизированные так, как мы разъяснили выше.

Пусть x, y, z, t - координаты и время нашего мгновенного точечного события, отсчитанные в системе отсчета К. Пусть x', y', z', t' - координаты и время нашего мгновенного точечного события, отсчитанные в системе отсчета К'.

Ради простоты дальше будем рассматривать только координаты x и x', считая что всегда y' = y и z' = z. Тогда в системах отсчета К и К' координаты одного и того же мгновенного точечного события будут x, t и x', t' соответственно, причем «координатой» будем называть не только координату x, а координату и время - x, t.

Так как эти числа относятся к одному и тому же событию (существующему в природе вне зависимости от наличия или отсутствия систем отсчета К и К'), то очевидно должны существовать однозначные математические зависимости вида x' = j(x, t), t' = y(x, t).

Формулы указанных зависимостей будем называть формулами преобразования координат мгновенного точечного события (любого) от системы отсчета K системе отсчета К'.

Наша конечная цель - найти вид функций j и y в приведенных формулах преобразования. Чтобы это сделать, обратимся к так называемым основным, исходным для нас, соотношениям, которые мы сейчас сформулируем.

Рассмотрим три следующих мгновенных точечных события. Опишем их сначала в системе отсчета К. Пусть в точке x₁ оси x в момент t₁ мгновенно был испущен короткий световой импульс в положительном направлении оси x. Пусть в момент времени t₂ этот импульс оказался в точке x₂ оси x, в которой он зеркально отразился и стал двигаться в отрицательном направлении оси x. Пусть, наконец, в момент времени t₃ этот световой импульс снова оказался в исходной точке, так что x₃ = x₁.

Посмотрим теперь на три указанных мгновенных точечных события с точки зрения системы отсчета K'. Мы увидим, что в точке x₁' в момент времени t' был испущен в положительном направлении оси x' короткий световой импульс, который в момент времени t₂' достиг точки x₂', отразился в ней и в момент времени t₃' оказался в точке x₃', причем теперь x₃' ¹ x₁'.

Согласно описанным выше процедурам построения полей времени в системах отсчета K и K' имеем следующие очевидные соотношения в системе отсчета K: x₃ = x₁

и в системе отсчета K':    

Точка x₁ = x₃ на оси x системы отсчета K движется со скоростью u в отрицательном направлении оси x', если ее наблюдать в системе отсчета K'.

Мы сформулировали шесть основных соотношений, исходя из которых мы теперь найдем вид функций j и y.

Нахождение функции j. Составим функциональное уравнение для определения функции j. Представим три соотношения для системы отсчета K в следующем виде:

Вычитая первое соотношение из третьего, получаем

Используя второе соотношение, отсюда приходим к равенству

Следовательно,

или

Таким образом, видим, что функция j  удовлетворяет следующему функциональному уравнению:

В этом уравнении величины x₁, t₁, x₂, t₂, x₃, t₃, однако, не независимы, а связаны нашими основными соотношениями для системы отсчета K. Учтем наличие этих соотношений и оставим независимыми только следующие три величины: x₁, x₂ и t₁. Величины x₃, t₂ и t₃ можно выразить через указанные независимые величины. Действительно, из первого соотношения получаем

следовательно,

Далее, из второго соотношения имеем

а следовательно,

мы воспользовались выражением для t₂ и условием x₃ = x₁.

Таким образом, получаем следующее окончательное функциональное уравнение для определения функции j:

которое должно выполняться для произвольных значений x₁, x₂ и t₁.

Приступим к решению полученного функционального уравнения. Начнем с того, что продифференцируем это уравнение по x₂. Получим тогда соотношение, которое будем называть продифференцированным функциональным уравнением

на общую двойку можно сократить все три слагаемые (производная от последнего, третьего слагаемого в исходном функциональном уравнении равна нулю, так как оно не зависит от

). В полученном дифференциальном уравнении положим теперь и . Тогда придем к следующему дифференциальному уравнению:

Общее решение полученного очень простого дифференциального уравнения легко найти, если перейти к переменным  и и показать, что в новых переменных это уравнение имеет вид

Так получаем, что общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения имеет вид

где F — пока произвольная функция.

Найдем вид этой функции. Для этого подставим полученную формулу для  в наше дифференциальное функциональное уравнение. Получим тогда следующее функциональное уравнение:

После элементарных алгебраических преобразований, отсюда получаем, что

или

.

Так как при произвольных аргументы функций в правой и левой частях равенства различны и могут принимать совершенно произвольные значения, то приходим к заключению, что

а следовательно,

F

где — некоторые постоянные, которые нам еще предстоит найти.

Итак, мы показали, что исходная функция имеет следующий вид:

где  — некоторые пока не определенные постоянные.

Нахождение функции  . Найдем теперь аналогичным образом функцию . Три основных соотношения для системы отсчета представим в виде:

Вычитывая первое соотношение из третьего и сравнивая результат со вторым соотношением, получаем уравнение

т.е. уравнение

Видим, что функция  удовлетворяет следующему функциональному уравнению:

в котором величины не независимые, а связаны нашими основными соотношениями для системы отсчета К. Используя эти соотношения, оставим независимыми только следующие три величины  и . Величины  и  выразим через указанные величины:

Таким образом, приходим к следующему основному функциональному уравнению для искомой функции:

которое выполняется при произвольных значениях  и .

Приступим к решению полученного функционального уравнения. Начнем с того, что продифференцируем его по :

производная последнего, третьего слагаемого в исходном функциональном уравнении равна нулю, так как оно не зависит от  . Положим теперь в выведенном уравнении ,

 и тогда придем к дифференциальному уравнению

или уравнение

Легко найти общее решение последнего дифференциального уравнения. Для этого надо перейти только к новым независимым переменным

и показать, что в новых переменных уравнение имеет вид

Таким образом получаем общее решение нашего дифференциального уравнения:

в котором  — пока произвольная функция.

Найдем вид этой функции. Подставим полученное выражение для функции в продифференцированное функциональное уравнение. Получим тогда соотношение

или соотношение

Так как аргументы у фукций в правой и левой частях равенства при произвольных значениях

 и совершенно произвольны, то получаем , что

а следовательно,

где — пока неопределенные постоянные.

Определение констант . Мы получили, что формулы преобразований координат и времен произвольного мгновенного точечного событияв инерциальных системах отсчета и имеют вид

Для нахождения констант привлечем дополнительное требование.

Требование 1. Предположим, что общие начала отсчета координат и времени в системах отсчета K и согласованы таким образом, что мгновенное точечное событие с координатами 0,0 в системе отсчета K имеет в системе отсчета  координаты 0,0 ( тоже нулевые координаты),

и наоборот.

Применяя вышеприведенные формулы преобразования к событию 0,0 получаем, что и поэтому формулы преобразования координат мгновенно точечного события приобретают следующий вид:

Теперь неопределенными остались только константы  и  .

Учтем теперь то обстоятельство, что формулы преобразования мы получили как следствия наших шести основных соотношений. Подставим поэтому полученные простые формулы обратно в эти исходные основные соотношения и установим ограничения на значения констант и . Имеем:

Таким образом, приходим к заключению, что константы  и равны друг другу:

=

и поэтому формулы преобразования координат мгновенного точечного события имеют следующий вид:

где — пока что неопределенная постоянная.

Разрешим теперь эти формулы преобразования относительно  и  . Имеем уравнения

Следовательно,

и поэтому

Полученные формулы сопоставим с формулами преобразования:

которые получаются с помощью рассуждений, совершенно аналогичных приведенным выше, но с заменой систем отсчета K и друг на друга. Следует при этом только учесть, что система отсчета K движется относительно системы отсчета не в положительном, а в отрицательном направлении оси  с некоторой положительной скоростью  (положительной), определенной в системе отсчета K . Здесь  — некоторое пока неизвестное нам число.

Сравнивая друг с другом приведённые пары формул преобразований, приходим к заключению, что имеют место следующие четыре равенства:

из которых непосредственно заключаем, что

u’ = u

и что величины a и a’ удовлетворяют соотношению

Таким образом, мы показали, что имеются следующие формулы преобразований координат x, t и x’, t‘ мгновенного точечного события в системах отсчета K и K’:

и

где величины a’ и a связаны вышеуказанным соотношением.

Чтобы найти числа a’ и a, выставим ещё одно требование. Обратим внимание, что пока мы до конца не условились о выборе основных единиц измерения длинны и времени в системах отсчета K и K ’. Разумеется, отчасти этот выбор уже был выше ограничен требованием, чтобы скорость света в обеих системах отсчёта давалась одним и тем же числом c, которое мы учли, т.е. мы уже согласовали отчасти единицы измерения скоростей в системах K и K’. Но единица скорости есть только отношение единиц длины и времени. Поэтому остаётся произвол в выборе единицы измерения либо длины, либо времени. Фиксируем теперь окончательно этот произвол с помощью следующего требования.

Требование 2. Длины l и l’ двух покоящихся в системах отсчёта K и K’ стержней одинаковой собственной длинны l0 (измеренной в этих системах отсчёта, в которых каждый из этих стержней покоится), измеренные, соответственно, в системах отсчёта K и K’ , относительно которых эти стержни движутся одинаковы.

Возьмём стержень длинны l0 , покоящийся в “движущейся” системе отсчёта K’. Пусть он лежит на оси x’ и его левый конец пусть имеет координату x’A , а правый - координату x’B

x’A - x’B = l0 .

Из мерим длину этого стержня в “покоящейся” системе отсчёта K. Пусть в одинаковые моменты времени tA и tB ( tA = tB ) левый и правый концы стержня, движущегося в системе отсчёта K, имели координаты xA и xB. (События A и B соответственно). Нам надо составить разность xA - xB = l , чтобы найти длину движущегося со скоростью u стержня, длина которого равна l0 в покоящейся системе координат.

Согласно уже выведенным формулам преобразований координат и времён мгновенных точечных событий, имеем соотношения:

x’B = a (x’B - u tB),

x’A = a (x’A - u tA).

Вычтем x’A из x’B и учтём условие tA = tB. Тогда получим

l0 = x’B - x’A = a (xB - xA) = a l.

Таким образом, имеем соотношение

l = l0 / a.

Если теперь, наоборот, взять стержень длины l0 , расположенный в “неподвижной” системе отсчёта K , и измерить его длину l’ в “движущейся” системе отсчёта K’ , то для этой длины, рассуждая аналогично, получаем соотношение

l’ = l0 / a’.

Потребуем теперь, чтобы l’ = l. Тогда мы придём к равенству a’ = a , а следовательно, с учётом выведенного соотношения

к равенствам

Знак минус перед корнем не подходит, так как не удовлетворяет очевидному требованию, что a = 1 при u = 0 , когда мы имеем формулы тождественных преобразований.

Длина движущегося стержня, как видим, меньше его собственной длины l0 . Движущийся стержень как бы сокращается вдоль направления своего движения. Однако это не истинное, а кажущееся сокращение, более точно, это исключительно кинематический эффект, целиком обязанный принятому определению локального поля времени в движущейся системе отсчёта.

Итак, мы вывели с помощью исключительно кинематических рассуждений следующие формулы преобразований:

которые называют формулами преобразований Лоренца.

В заключение заметим, что кроме кажущегося, чисто кинематического сокращения длинны движущегося стержня в рассматриваемой кинематике, основанной на описаных выше процедурах построения полей времени в системах отсчёта K и K’ , имеется ещё и эффект кажущегося замедления хода движущихся часов.

Пусть мы имеем часы, неподвижные в “движущейся” системе K’ , находящиеся в точке x’A = x’B . Пусть в них произошел один период колебаний, начавшийся в момент времени t’A (событие A) и окончившийся в момент времени t’B (событие B), так что t’B - t’A = t0 , где t0 - период колебаний часов в “собственной” системе отсчёта

(где они покоятся). Обозначив через xA , xB , tA и tB координаты событий A и B в системе отсчёта K , получаем

Вычитая второе равенство из первого для кажущегося периода колебаний t часов, определённого в “движущейся” системе K’ имеем следующую формулу

так как x’A = x’B . Следовательно, окончательно получаем формулу

для кажущегося, т.е. кинематического, замедления хода движущихся часов.

Похожие работы

Курс лекций по физике

Скачать

27693

7

32

... свойства. А.у.т. - тело, для которого силы однозначно определяют деформации и наоборот. Правильность выбранной абстракции подтверждается совпадением, определенной точностью результатов теории и опыта. Физика - наука, устанавливающая закономерные связи посредством наблюдений явлений в природе и посредством лабораторных опытов. Согласие результатов научного анализа с результатами опыта - критерий ...

Физики продолжают шутить

Скачать

25258

0

3

... так, как большинство материалов относится к устному творчеству, откуда и были получены, также есть выдержки из книг: «Физики шутят», «Физики продолжают шутить», «Сборник задач по физике» Г. Остера. Шутки, которые шутят физики. Один математик спросил коллегу, известного своими религиозными убеждениями: - Вы, что же, верите в единого ...

Английский физик Майкл Фарадей

Скачать

27836

0

0

... фара́да). 1 фарад равен электрической ёмкости конденсатора, при которой заряд 1 кулон создаёт между обкладками конденсатора напряжение 1 вольт. Ф = Кл/В = A·c/B Единица названа в честь английского физика Майкла Фарадея Фарад — очень большая ёмкость. Емкостью 1Ф обладал бы уединенный шар, радиус которого был бы равен 13 радиусам Солнца. Для сравнения, ёмкость Земли (шара размером с ...

Великий физик Америки

Скачать

23944

0

0

... гальванометра отклонялась (то же происходило и при поднятии электромагнита из катушки). Эта схема напоминает рисунок из лабораторного журнала Фарадея. Удивительно, как схожи оказались эксперименты двух великих физиков, работавших независимо друг от друга на разных континентах! В своей статье, написанной уже после знакомства с опытом Фарадея, Генри, отдавая должное английскому физику, подчеркнул, ...