Квадратные уравнения

2. Квадратные уравнения.

Уравнение второй степени вида  называется квадратным. Для решения такого уравнения воспользуемся следующими формулами:

 и (9)

Где  и  - корни квадратного уравнения

Пусть , тогда если , то можно записать

 (10)

Если , то уравнение не имеет решений.

Пример. Решить уравнение

Пользуясь формулами (9) получим

Ответ:  и

3. Уравнение третей степени.

Уравнение третей степени вида  называется кубичным уравнением. Для решения такого уравнения заменим неизвестное -  на коэффициент  и вводя подстановку

Получим более упрощенное уравнение третей степени

(11)

Поскольку уравнение в третей степени, то соответственно решениями этого уравнения будут три корня, которые сейчас определим из следующей системы

(12)

Корни - есть решения уравнения, где  - комплексное число.

 

4. Уравнения высших степеней сводящиеся к квадратным.

1.Рассмотрим уравнение, у которого одна переменная находится в четвертой степени, т.е. дано уравнение вида

(13)

Для решения такого уравнения, выразим через , получим,

(14)

Решая это уравнение по следующим формулам, имеем

 и (15)

Пример. Решить уравнение.

Выразим через , получим , решая это уравнение по формулам (19) получим

Отсюда получаем множество корней (решений)

Ответ:

2. Рассмотрим уравнение, у которого одна степень находится в пятой степени, т.е. имеется уравнение вида

(16)

Для решения такого уравнения выберем переменную, у которой степень самая меньшая, по сравнению с другими степенями, это будет переменная , вынося ее за скобку получим

(17)

Отсюда , т.е. мы получили некоторое множество нулей. Уравнение , решается через дискриминант.

Пример. Решить уравнение

Вынесем  за скобку, получим , отсюда , который имеет множество корней (0; 0; 0). Далее, решая уравнение  получим  и . Таким образом, получили множество решений (0; 0; 0; -2; ).