График функции

1. График функции.

Функция  называется линейной функцией. Для нахождения точек пересечения графика функции нужно решить два уравнения:

Пример. Функция задана уравнением , найти точки пересечения с осями координат.

Решим два уравнения

Ответ: точки x =-2 и y = 4 являются точками пересечения с осями координат.

2. Квадратичная функция.

Функция вида называется квадратичной. Для нахождения точек пересечения графика с осями координат, нужно решить квадратное уравнение

Глава 3 Пределы

1. Предел функции

Пример. Найти предел функции

Поскольку икс стремится к двум, т.е. , то в числителе и знаменателе заменяем все иксы на 2, таким образом, получаем

Ответ:

Рассмотрим случай, когда икс стремится к бесконечности. Пусть

Разделим числитель и знаменатель на высокую степень аргумента , получим

Ответ:

Пусть , разделим числитель и знаменатель на , получим

Ответ: 4

Найти предел

Отсюда  

Ответ: 5

Глава 4 Производные

1. Обыкновенные производные

Пусть дана функция , требуется найти производную. Согласно выражению , получим .

Пример: Найти производную функции

Отсюда

Ответ:

2. Производная функции одной переменной.

Функция одной переменной имеет вид , соответственно функция постоянно изменяется со скоростью, каждой границей изменения этой функции есть предел, который можно записать в виде

(21)

Функция  называется дифференцируемой в точке x если предел (21)

существует.

3. Производные вида

В курсе дифференциальных уравнений часто можно видеть выражение .

Речь идет о частной производной, в этом выражении переменная x дифференцируется по переменной y. Рассмотрим выражение вида , в таком случае переменную x дифференцируют два раза по переменной y.

Пример. Найти производную , если

Ответ:

ГЛАВА 5. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

1. Неопределенные и определенные интегралы.

Множество первообразных функции  называется неопределенным интегралом. Такой неопределенный интеграл обозначается таким образом:

Где - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение, - постоянная интегрирования.

Пример: Вычислить интеграл

Находим первообразную для функции , получим , поэтому

 

Пример: Найти

Найдем первообразную для функции , получим , поэтому

Пример: Найти

Применяем метод непосредственного интегрирования, получим

Пример: Найти

Воспользуемся методом подстановки, получим

Тогда

Пример: Найти

Воспользуемся методом интегрирования по частям, получим

 

Отсюда

Пример. Найти

Применим метод интегрирования по частям, получим

Отсюда

Рассмотрим интеграл вида , такой интеграл называется определенным. Число а – называется нижним пределом, а число b – верхним пределом.

Пример: Найти

1. Находим неопределенный интеграл, методом интегрирования по частям,

Отсюда,

Тогда

Пример: Найти

Отсюда,

Тогда