1. График функции.
Функция называется линейной функцией. Для нахождения точек пересечения графика функции нужно решить два уравнения:
Пример. Функция задана уравнением , найти точки пересечения с осями координат.
Решим два уравнения
Ответ: точки x =-2 и y = 4 являются точками пересечения с осями координат.
2. Квадратичная функция.
Функция вида называется квадратичной. Для нахождения точек пересечения графика с осями координат, нужно решить квадратное уравнение
Глава 3 Пределы
1. Предел функции
Пример. Найти предел функции
Поскольку икс стремится к двум, т.е. , то в числителе и знаменателе заменяем все иксы на 2, таким образом, получаем
Ответ:
Рассмотрим случай, когда икс стремится к бесконечности. Пусть
Разделим числитель и знаменатель на высокую степень аргумента , получим
Ответ:
Пусть , разделим числитель и знаменатель на , получим
Ответ: 4
Найти предел
Отсюда
Ответ: 5
Глава 4 Производные
1. Обыкновенные производные
Пусть дана функция , требуется найти производную. Согласно выражению , получим .
Пример: Найти производную функции
Отсюда
Ответ:
2. Производная функции одной переменной.
Функция одной переменной имеет вид , соответственно функция постоянно изменяется со скоростью, каждой границей изменения этой функции есть предел, который можно записать в виде
(21)
Функция называется дифференцируемой в точке x если предел (21)
существует.
3. Производные вида
В курсе дифференциальных уравнений часто можно видеть выражение .
Речь идет о частной производной, в этом выражении переменная x дифференцируется по переменной y. Рассмотрим выражение вида , в таком случае переменную x дифференцируют два раза по переменной y.
Пример. Найти производную , если
Ответ:
ГЛАВА 5. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1. Неопределенные и определенные интегралы.
Множество первообразных функции называется неопределенным интегралом. Такой неопределенный интеграл обозначается таким образом:
Где - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение, - постоянная интегрирования.
Пример: Вычислить интеграл
Находим первообразную для функции , получим , поэтому
Пример: Найти
Найдем первообразную для функции , получим , поэтому
Пример: Найти
Применяем метод непосредственного интегрирования, получим
Пример: Найти
Воспользуемся методом подстановки, получим
Тогда
Пример: Найти
Воспользуемся методом интегрирования по частям, получим
Отсюда
Пример. Найти
Применим метод интегрирования по частям, получим
Отсюда
Рассмотрим интеграл вида , такой интеграл называется определенным. Число а – называется нижним пределом, а число b – верхним пределом.
Пример: Найти
1. Находим неопределенный интеграл, методом интегрирования по частям,
Отсюда,
Тогда
Пример: Найти
Отсюда,
Тогда
... сделалась университетской наукой, была преподаваема в университетах и в большой и в большей или меньшей степени, разрабатывалась профессорами университетов. Здесь предлагается краткий очерк развития преподавания математики и самодеятельности русских ученых по университетам. Московский университет, старейший из русских, существуя почти 150 лет, насчитывает много поколений по математике. А.А. Барсов ...
... свойства параболы: парабола расположена в правой полуплоскости , проходит через начало координат О(0, 0) и имеет ось Ох своей осью симметрии. II. ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО МЕТОДА К РЕШЕНИЮ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ. Мысль о возможности систематического применения метода координат в научных исследованиях зародилась несколько тысяч лет тому назад. Известно, например, что астрономы древнего мира, ...
... (вопросы а) и в)). Понятие функции, в системе формирования которого должны присутствовать такие задания, сразу выступает в курсе математики как определённая математическая модель, что и является мотивировкой для его углублённого изучения. Методика введения понятий: функции, аргумента, области определения. Не смотря на чрезвычайно большой объем, широту и сложность понятия функции, его ...
... . Некоторые из вариантов оказываются столь гармоничными и прекрасными, что очень сильно воздействовуют на эту специальную восприимчивость математика, и это позволит им перешагнуть порог сознания. Это подтверждается так же и тем фактом, что те интуитивные гипотезы, которые не выдерживают логической проверки, тем не менее в полной мере обладают гармонией. В этом случае часто говорят:"Жаль, что это ...
0 комментариев