1. График функции.

Функция  называется линейной функцией. Для нахождения точек пересечения графика функции нужно решить два уравнения:

Пример. Функция задана уравнением , найти точки пересечения с осями координат.

Решим два уравнения

Ответ: точки x =-2 и y = 4 являются точками пересечения с осями координат.

2. Квадратичная функция.

Функция вида называется квадратичной. Для нахождения точек пересечения графика с осями координат, нужно решить квадратное уравнение


Глава 3 Пределы

1. Предел функции

Пример. Найти предел функции

Поскольку икс стремится к двум, т.е. , то в числителе и знаменателе заменяем все иксы на 2, таким образом, получаем

Ответ:

Рассмотрим случай, когда икс стремится к бесконечности. Пусть

Разделим числитель и знаменатель на высокую степень аргумента , получим

Ответ:

Пусть , разделим числитель и знаменатель на , получим

Ответ: 4

Найти предел

Отсюда  

Ответ: 5


Глава 4 Производные

1. Обыкновенные производные

Пусть дана функция , требуется найти производную. Согласно выражению , получим .

Пример: Найти производную функции

Отсюда

Ответ:

2. Производная функции одной переменной.

Функция одной переменной имеет вид , соответственно функция постоянно изменяется со скоростью, каждой границей изменения этой функции есть предел, который можно записать в виде

(21)

Функция  называется дифференцируемой в точке x если предел (21)

существует.

3. Производные вида

В курсе дифференциальных уравнений часто можно видеть выражение .

Речь идет о частной производной, в этом выражении переменная x дифференцируется по переменной y. Рассмотрим выражение вида , в таком случае переменную x дифференцируют два раза по переменной y.

Пример. Найти производную , если

Ответ:


ГЛАВА 5. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

1. Неопределенные и определенные интегралы.

Множество первообразных функции  называется неопределенным интегралом. Такой неопределенный интеграл обозначается таким образом:

Где - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение, - постоянная интегрирования.

Пример: Вычислить интеграл

Находим первообразную для функции , получим , поэтому

 

Пример: Найти

Найдем первообразную для функции , получим , поэтому

Пример: Найти

Применяем метод непосредственного интегрирования, получим

Пример: Найти

Воспользуемся методом подстановки, получим

Тогда

Пример: Найти

Воспользуемся методом интегрирования по частям, получим

 

Отсюда

Пример. Найти

Применим метод интегрирования по частям, получим

Отсюда

Рассмотрим интеграл вида , такой интеграл называется определенным. Число а – называется нижним пределом, а число b – верхним пределом.

Пример: Найти

1. Находим неопределенный интеграл, методом интегрирования по частям,

Отсюда,

Тогда

Пример: Найти

Отсюда,

Тогда


Информация о работе «Аналитическая математика»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 8565
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 2

Похожие работы

Скачать
47197
0
0

... сделалась университетской наукой, была преподаваема в университетах и в большой и в большей или меньшей степени, разрабатывалась профессорами университетов. Здесь предлагается краткий очерк развития преподавания математики и самодеятельности русских ученых по университетам. Московский университет, старейший из русских, существуя почти 150 лет, насчитывает много поколений по математике. А.А. Барсов ...

Скачать
41874
0
11

... свойства параболы: парабола расположена в правой полуплоскости , проходит через начало координат О(0, 0) и имеет ось Ох своей осью симметрии. II. ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО МЕТОДА К РЕШЕНИЮ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ. Мысль о возможности систематического применения метода координат в научных исследованиях зародилась несколько тысяч лет тому назад. Известно, например, что астрономы древнего мира, ...

Скачать
51724
1
8

... (вопросы а) и в)). Понятие функции, в системе формирования которого должны присутствовать такие задания, сразу выступает в курсе математики как определённая математическая модель, что и является мотивировкой для его углублённого изучения. Методика введения понятий: функции, аргумента, области определения. Не смотря на чрезвычайно большой объем, широту и сложность понятия функции, его ...

Скачать
70940
0
0

... . Некоторые из вариантов оказываются столь гармоничными и прекрасными, что очень сильно воздействовуют на эту специальную восприимчивость математика, и это позволит им перешагнуть порог сознания. Это подтверждается так же и тем фактом, что те интуитивные гипотезы, которые не выдерживают логической проверки, тем не менее в полной мере обладают гармонией. В этом случае часто говорят:"Жаль, что это ...

0 комментариев


Наверх