Навигация
По заданным геометрическим свойствам фигуры Ф составить аналитические условия Р (х, у), определяющие эту фигуру;
41874
знака
0
таблиц
11
изображений
1. по заданным геометрическим свойствам фигуры Ф составить аналитические условия Р (х, у), определяющие эту фигуру;
2. по заданным аналитическим условиям Р (х, у), определяющим фигуру Ф, выяснить её геометрические свойства.
Составление аналитических условий, определяющих фигуру.
Здесь по геометрическому описанию фигуры Ф требуется сформулировать такие аналитические условия Р(х, у), что будут справедливы два утверждения:
а) если точка М(х, у) Î Ф, то её координаты х, у удовлетворяют условиям Р(х, у), т.е. будучи поставлены в этот предикат, превращают его в истинное утверждение (высказывание);
б) если координаты точки М(х, у) удовлетворяют условиям Р(х, у), то М Î Ф.
Ясно, что второе утверждение можно заменить равносильным ему утверждением:
б`) если точка М не принадлежит фигуре Ф, то её координаты не удовлетворяют условию Р(х, у).
Практически это делается так. На данной фигуре Ф берется произвольная (или, как говорят, текущая) точка М(х, у) с текущими координатами х, у и отыскивается (необходимые и достаточные) условия принадлежности точки М фигуре Ф, т.е. строится некая модель этой геометрической ситуации (принадлежности М Î Ф). Затем в этой модели найденные условия переводятся на аналитический язык, т.е. на язык аналитической взаимосвязи текущих координат х, у текущей точки М.
Пример. Пусть на плоскости задана декартова система координат R = {O, i(а),
j(а)}. Составим аналитические условия, определяющие правую полуплоскость с граничной прямой Оу вместе с её границей. Таким условием будет неравенство 
, т.е. правая полуплоскость состоит из тех и только тех точек М(х, у), первые координаты которых (абсциссы) неотрицательны, поскольку все точки правой полуплоскости этим свойством обладают, а никакие точки, не принадлежащие правой полуплоскости (т.е. принадлежащие левой плоскости без граничной прямой Оу), этим свойством не обладают ( для них 
).
Аналитические условия, определяющие I координатную четверть, представляют собой конъюнкцию двух предикатов: 
, которые задают эту четверть как пересечение двух полуплоскостей: верхней (задаётся условием 
) и правой (задается условием 
). Аналогично, II четверть: 
; III четверть: 
; IV четверть: 
.
Из рассмотренных примеров видим, что аналитическое задание линий (или, как еще говорят, кривых линий, или, короче, кривых) приводит к уравнениям с двумя неизвестными х, у вида:
F (х, у) = 0
Здесь следует отметить, что дать строгое определение понятию линии в том адекватном смысле, в каком мы осознаем эти математические объекты с интуитивной точки зрения, весьма непросто. Понятие линии является одним из сложных понятий математики. Самое общее определение этого понятия рассматривается в топологии. Это понятие впервые было определено математиком П.С. Урысоном в 20-х годах XX века. Ограничимся пока следующими двумя определениями.
Определение. Уравнением данной линии L в заданной системе координат R = {О; е(а)1, е(а)2} называется такое уравнение F (х, у) = 0 с двумя неизвестными х, у, которому удовлетворяют координаты х, у каждой точки этой линии (т.е. будучи представлены в это уравнение превращают его в верное равенство) и не удовлетворяют координаты никакой точки, не принадлежащей этой линии.
М (х, у) – текущая точка линии L; х, у – текущие координаты.
Определение. Линией, определяемой уравнением F (х, у) = 0 в заданной системе координат R = {О; е(а)1, е(а)2}, называется множеством (или совокупность, или геометрическое место) всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.
L ={М (х, у): F (х, у) = 0}.
Здесь необходимо отметить, что сформулированное определение линии оказывается весьма широким, так что под него попадают объекты, никак не отвечающие нашему наглядному (интуитивному) представлению о линии. Другими словами, далеко не каждое уравнение вида F (х, у) = 0 определяет на координатной плоскости геометрическую фигуру, которую мы склонны считать линией.
В качестве примера приведем два уравнения. Первое х - |х| = 0, как легко видеть, определяет на координатной плоскости правую полуплоскость, так как оно равносильно неравенству: 
. Второе х+у-|х|-|у|=0 равносильно системе (конъюнкции) двух неравенств и потому определяет на плоскости одну точку, а уравнение х2 + у2 + 1 = 0 вообще не определяет на плоскости никакой геометрической фигуры.
Для того чтобы уравнение вида F (х, у) = 0 определяло геометрическую фигуру, отвечающую нашему наглядному представлению о линии, следует, вообще говоря, функцию F (х, у) = 0 подчинить некоторым ограничениям. Одним из таких является требование того, чтобы уравнение F (х, у) = 0 и у = f(х) были эквивалентны, т.е. любая пара действительных чисел, удовлетворяющая первому уравнению, удовлетворяет и второму, и наоборот. В этом случае, как нетрудно понять, линия L, определяемая уравнением F (х, у) = 0 , будет графиком функции f(х).
Таким образом, мы приходим еще к одному способу аналитического задания линий плоскости. Он называется явным: здесь линия задается уравнением у = f(х), в котором у явно выражена через х, Этот способ хорошо известен из школьного курса алгебры и начала анализа. В отличие от него предыдущий способ, т.е. задание линии уравнением F (х, у) = 0, называется неявным: здесь ни одно из неизвестных не выражено явно через другое.
Наконец, рассмотрим еще один способ задания линий – параметрический. При таком задании каждое из неизвестных х и у выражается как функция через третью, неизвестную, переменную t, называемую параметром:
L:
При каждом значении t Î D из некоторой области допустимых значений получаем значения х и у, которые представляют собой координаты некоторой точки линии: М (х. у) Î L.
Для примера получим параметрические уравнения окружности с центром в начале координат радиуса r. В качестве параметра выберем центральный угол t, который образует радиус-вектор ОМ(а) текущей точки М(х, у) с положительным направлением оси Ох (т.е. с вектором i(а)). Тогда для того, чтобы точка М (х, у) обежало всю рассматриваемую окружность, нужно, чтобы угол t изменялся в пределах: t Î [0, 2p). Из rONM находим:
х = ON = ОМ соs t = r cos t, у = MN = ОМ sin t = r sin t.
Эти формулы будут справедливы и для II – IV четвертей. Таким образом, мы приходим к параметрическим уравнениям окружности:
Из этих равенств можно исключить параметр t. Для этого нужно каждое из них возвести в квадрат и результаты сложить почленно. Получим:
х2 + у2 = r2 cos2 t + r2 sin2 t, x2 + y2 = r2(cos2 t + sin2 t), x2 + y2 = r2.
Мы приходим к знакомому нам уравнению.
Рассмотрим примеры задач на определение вида геометрической фигуры по её аналитическому заданию и их решения. В качестве аналитических условий, задающих геометрические фигуры, будем брать уравнения.
Пример. Исследовать геометрическую фигуру, задаваемую в аффинной системе координат уравнением: х – у = 0. Представим данное уравнение в виде: 
. тогда ясно, что ему удовлетворяют координаты тех и только тех точек плоскости, радиус-векторы r(а) (х, у) которых коллинеарны вектору а(а) (1, 1).
Отсюда следует, что рассматриваемая фигура есть прямая l, проходящая через начало координат и параллельная вектору а(а) (1, 1). В случае, когда система координат декартова, прямая l есть биссектриса I и III координатных углов.
Похожие работы
... учебник и задачник / А. П. Кисилев, Н.А. Рыбкин. – М.: Дрофа, 1995. 9. Изучение личности школьника / под. ред. Л.И. Белозеровой. – Киров, Информационный центр, 1991. 10. Коновалова, В.С. Решение задач на построение в курсе геометрии как средство развития логического мышления / В.С. Коновалова, З.В. Шилова // Познание процессов обучения физике: сборник статей. Вып.9. – Киров: Изд-во ...
... 1. Точки М и N — середины диагоналей АС и BD четырехугольника ABCD. (Рис.1)Доказать, что |AB|2+|BC|2+|CD|2+|DA|2 = |AC|2+|BD|2+4|MN|2.Решение. Пусть точкам A, В, С, D, М, N соответствуют комплексные числа а, b, с, d, т, п.Так как m = и n = , то |AB|2+|BC|2+|CD|2+|DA|2 |AC|2+|BD|2+4|MN|2 .Равенство доказано.Задача 2. Доказать, что если в плоскости параллелограмма ABCD существует такая точка М, ...
... , основанной на поглощении атомами рентгеновского излучения. Ультрафиолетовая спектрофотометрия — наиболее простой и широко применяемый в фармации абсорбционный метод анализа. Его используют на всех этапах фармацевтического анализа лекарственных препаратов (испытания подлинности, чистоты, количественное определение). Разработано большое число способов качественного и количественного анализа ...
... координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных изображений. Можно выделить следующие цели изучения метода координат в школьном курсе геометрии: - дать учащимся эффективный метод решения задач и доказательства ряда теорем; - показать на основе этого метода тесную связь алгебры и геометрии; - способствовать ...
0 комментариев