Достаточные условия для точки локального минимума (максимума)

2. Достаточные условия для точки локального минимума (максимума)

Представим разложение функции  в окрестности точки  в ряд Тейлора с точностью до квадратичных по  слагаемых.

(1)

Разложение (1) можно представить более кратко, используя понятие: "скалярное произведение векторов" и "векторно-матричное произведение".

(1')

 - матрица двух производных от целевой функции по соответствующим переменным.

,

Приращение функции  на основании (1') можно записать в виде:

(3)

Учитывая необходимые условия:

, (4)

Подставим (3) в виде:

(4')

(5)

Квадратичная форма  называется дифференциальной квадратичной формой (ДКФ).

Если ДКФ положительно определена, то  и стационарная точка  является точкой локального минимума.

Если же ДКФ и матрица , ее представляющая, отрицательно определены, то  и стационарная точка  является точкой локального максимума.

Итак, необходимое и достаточное условие для точки локального минимума имеют вид

 (эти же необходимые условия можно записать так:

, , )

 - достаточное условие.

Соответственно, необходимое и достаточное условие локального максимума имеет вид:

,  (), .

Вспомним критерий, позволяющий определить: является ли квадратичная форма и матрица, ее представляющая, положительно определенной, или отрицательно определенной.

3. Критерий Сильвестра

Позволяет ответить на вопрос: является ли квадратичная форма и матрица, ее представляющая, положительно определенной, или отрицательно определенной.

Далее изложение будет относительно ДКФ и матрицы  ее определяющей, т.е. ДКФ вида

.

,  - называется матрицей Гессе.

Главный определитель матрицы Гессе

 и ДКФ, которую оно представляет, будут положительно определенными, если все главные определители матрицы Гессе () положительны (т.е. имеет место следующая схема знаков:

)

Если же имеет место другая схема знаков для главных определителей матрицы Гессе , например, , то матрица  и ДКФ отрицательно определены.