Достаточные условия в классической задаче условной оптимизации. Алгоритм ММЛ

5.3 Достаточные условия в классической задаче условной оптимизации. Алгоритм ММЛ

Эти условия позволяют выяснить, является ли условно-стационарная точка  точкой локального условного минимума, или точкой локального условного максимума.

Относительно просто, подобно тому, как были получены достаточные условия в задаче на безусловный экстремум. Можно получить достаточные условия и в задаче классической условной оптимизации.

Результат этого исследования:

где  - точка локального условного минимума.

где  - точка локального условного максимума,  - матрица Гессе с элементами

,

Матрица Гессе  имеет размерность .

Размерность матрицы Гессе  можно уменьшить, используя условие неравенства нулю якобиана: . При этом условии можно зависимые переменные  выразить через независимые переменные , тогда матрица Гессе будет иметь размерность , т.е. необходимо говорить о матрице с элементами

,

тогда достаточные условия будут иметь вид:

,  - точка локального условного минимума.

,  - точка локального условного максимума.

Доказательство: Алгоритм ММЛ:

1)                составляем функцию Лагранжа: ;

2)                используя необходимые условия, формируем систему уравнений:

3)                из решения этой системы находим точку ;

4)                используя достаточные условия, определяем, является ли точка  точкой локального условного минимума или максимума, затем находим

1.5.4. Графо-аналитический метод решения классической задачи условной оптимизации в пространстве  и его модификации при решении простейших задач ИП и АП

Этот метод использует геометрическую интерпретацию классической задачи условной оптимизации и основан на ряде важных фактов, присущих этой задаче.

; ; ;

В  - общая касательная для функции  и функции , представляющей ОДР .

Как видно из рисунка точка  - точка безусловного минимума, точка  точка условного локального минимума, точка  - точка условного локального максимума.

Докажем, что в точках условных локальных экстремумов кривая  и соответствующие линии уровня

; .

Из курса МА известно, что в точке касания выполняется условие

где  - угловой коэффициент касательной, проведенной соответствующей линией уровня;  - угловой коэффициент касательной, проведенной к функции

Известно выражение (МА) для этих коэффициентов:

;

Докажем, что эти коэффициенты равны.

;

потому что об этом "говорят" необходимые условия

.

Вышесказанное позволяет сформулировать алгоритм ГФА метода решения классической задачи условной оптимизации:

1)       строим семейство линий уровня целевой функции:

; ;

2)       строим ОДР, используя уравнение ограничения

3)       с целью внесения исправления возрастания функции , находим  и выясняем характер экстремальных точек;

4)       исследуем взаимодействие линий уровня и функции , находя при этом из системы уравнений  координаты условно стационарных точек – локальных условных минимумов и локальных условных максимумов.

5)       вычисляем

Следует особо отметить, что основные этапы ГФА метода решения классической задачи условной оптимизации совпадают с основными этапами ГФА метода решения задач НП и ЛП, отличие лишь в ОДР , а также в нахождении местоположения экстремальных точек в ОДР (например, в задачах ЛП эти точки обязательно находятся в вершинах выпуклого многоугольника, представляющего ОДР ).