1.2 Нормированные пространства

 

Определение: Множество  называется нормированным пространством, если:

1)  – линейное пространство над полем действительных или комплексных чисел.

2) Для каждого элемента  определено вещественное число, называемое его нормой и обозначаемое , и выполнены условия:

а) для любого ;

б)  для любого  и любого ;

в) , для любых

([1], стр. 138).

Примеры нормированных пространств:

1. Пространство  становится нормированным, если положить .

2. Пространство  с элементами  нормировано, при условии .

3. Пространство  функций, непрерывных на отрезке , нормировано, если взять .

([1], стр. 139).

1.3 Банаховы пространства

 

Определение: Расстоянием (метрикой) между двумя элементами  и  называется вещественное неотрицательное число, обозначаемое  и подчиненное трем аксиомам:

1) ;

2) ;

3) ;

Определение: Последовательность  точек метрического пространства  называется фундаментальной, если  при .

Справедливы утверждения:

1.         Если последовательность  сходится к некоторому пределу, то она фундаментальна.

Доказательство:

Пусть , тогда , при

2.         Всякая фундаментальная последовательность  ограничена.

Определим расстояние в нормированном пространстве , полагая для любых . Тогда  означает, что . Это сходимость по норме.

Фундаментальная последовательность  в нормированном пространстве в соответствии с определением расстояния характеризуется условием

, при

Определение: Нормированное пространство называется полным, если всякая фундаментальная последовательность его элементов имеет предел.

Определение: Полное нормированное пространство называется банаховым пространством.

([2], стр. 137)


Информация о работе «Компактные операторы»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 19857
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 0

Похожие работы

Скачать
36187
0
5

... состоит из значений функции g(x) на отрезке [a,b]. Причём этот оператор имеет лишь непрерывный спектр, так как резольвента при  существует, но не непрерывна. Точечного спектра оператор не имеет. Пример 3: Рассмотрим оператор дифференцирования на множестве дифференцируемых функций. А: (для краткости будем писать вместо f(x) просто f). Рассмотрим резольвенту этого оператора: , то есть мы должны ...

Скачать
48279
5
0

... : µ§. Шары такие : µ§ и µ§, причем: µ§ , µ§. µ§ µ§ Если µ§ ,то: µ§ , µ§ µ§ µ§ µ§ µ§ Теорема доказана. Единственность классического решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. µ§ µ§ (1) µ§ µ§ (2) µ§ - это не гарантирует существование решения. µ§ Теорема. Задача (1) (2) может иметь не более одного ...

Скачать
65703
0
0

... ;0,0(p2) = P0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р1 и Р2 также определяются однозначно. § 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве 2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P2 . Пусть А = Р1 - Р1┴ = 2Р1 – I и В = Р2 – Р2┴ = 2Р2 – I. Тогда А2 = I , В2 = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U-1=ВА и А-1UА = ...

Скачать
69018
1
0

... ;0,0(p2) = P0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р1 и Р2 также определяются однозначно. § 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве 2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P2 . Пусть А = Р1 - Р1┴ = 2Р1 – I и В = Р2 – Р2┴ = 2Р2 – I. Тогда А2 = I , В2 = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U-1=ВА и А-1UА ...

0 комментариев


Наверх